财务金融分析师-债券组合市场VaR度量

第17章债券组合市场VaR度量清华大学经管学院朱世武[e-mail]样本数据：论坛：是指这样的一种损失额，给定置信水平（1-%）和持有期限（t日），在持有期内预计超过这一损失额的概率只有%。用公式表示为，VaR度量的是头寸价值的潜在变动。影响债券价格的因素是即期利率，称为风险因子。(|VaR)%P损失额|使用到期收益率计算VaR•债券价格等于预期现金流的现值。•(17.1)•••t为现金流时刻，为t时刻的现金流，为该债券的到期收益率。•到期收益率上升，债券价格下跌；•到期收益率下降，债券价格上涨。(1)tttCPYTMtCYTM单只债券VaR•假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为的正•态分布，则给定置信水平,最不利情形下的到期收益•率为，•••为实际的到期收益率，l是所选置信水平1-%（如）所对应的分位数（如1.65，SAS函数值为l=probit(.95)）。•利用这个到期收益率和公式（17.1）计算出未来的债•券价格。则一年期的VaR为，••T年期的VaR为，realYTMYTMYTMl||futurepresentVaRPP1VaRVaRTt年期年期1%1%95%YTMrealYTM•例17.1一只5年期，面值100，年息和到期收益率均为5%的政府债券（意味着债券的现价为100）。假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为1%的正态分布。计算95%置信水平下，该债券的一年期VaR。•解：95%置信水平下的最不利YTM为，•若到期收益率变为6.65%，债券价格就会跌到93.77。则该债券的VaR为，1.655%1.651%6.65%.realYTMYTMYTM10093.776.23VaRYTM100,100,5%,5%,1.645,1%,5realParPYTMlT51513.93yearyearVaRVaR五年的VaR为，SAS程序：%macrobVaR(Par,P,alpha,YTMr,sigma,T);prociml;l=probit(1-&alpha);YTM=&YTMr+l*σPf=&Par/(1+YTM);VaR1=abs(Pf-&P);VaRT=VaR1*sqrt(&T);printYTMPfVaR1VaRT;%mendbVaR;%bVaR(100,100,0.05,0.05,0.01,5);16.645%,93.77,6.23,13.93futureyearTYTMPVaRVaR债券组合考虑一债券组合，由n个债券组成，每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵,计算它的协方差矩阵与相关系数矩阵,knknnnkkrrrrrrrrrR,21,22221,11211nnnnnnnrrrrrrrrrrrr2212221212121,cov,cov,cov,cov,cov,covnnnnnnnnnnrrrrrrrrrrrrC1,cov,cov,cov1,cov,cov,cov12211221212112121•假如投资在某债券上的资金为（为该债券的持有数量），则该债券VaR为，•全部VaRi构成债券组合的VaR向量为，•••于是，该债券组合的VaR为，iipresentVPiV||iiifutureipresentVaRVPP12nVaRVaRVaRVaR12VaRCVaR•例17.2考虑2只债券构成的组合,一只为例1中的债券，另外一只为2年期，年息3%的政府债券，到期收益率为4%，于是，可算出该债券的实际价格为98.11，再假设该债券的到期收益率变动服从均值为0，标准差为1.2%的正态分布。计算95%置信水平下，债券组合的一年期VaR。••解：对于新增债券，95%置信水平下的最不利YTM为，•若到期收益率变为5.97%，债券价格就会跌到94.36。则债券的VaR为，1.654%1.651.2%5.97%realYTMYTMYTM98.1194.363.75VaR1001005%1%1,,,,,10098.114%1.2%110.95,1,5%0.951TrealYTMParPYTMσVC若组合中这两只债券到期收益率相关系数为1，则价值为的未分散组合的。但通常5年期政府债券的到期收益率与2年期政府债券的到期收益率只是高度相关，并非完全相关。假设相关系数为0.95，则组合的。这体现出了分散化投资会带来收益。5%198.1110098.11,16.233.759.98pyearVaR22,16.233.7520.956.233.759.86pyearVaR0.129.989.86SAS程序：对于债券i进行如下过程：realYTMYTMiYTMili1futurePariPiYTMi1yearfutureVaRiViPiPi组合的一年期风险值为：12,1pyearVaRVaRCVaR组合的T年期风险值为：12pTVaRTVaRCVaRdatagendat;inputPsigmaYTMrVPar;/*数据集gendat包含每个债券的现在价格()，到期收益标准差()，实际到其收益率()，债券的持有数量()，债券面值()*/cards;1000.010.05110098.110.0120.041100;datacorrmat;/*数据集corrmat包含所有的债券的相关系数矩阵*/inputc1c2;cards;10.950.951;%macrombVaR(n,alpha,gendat,corrmat,T);/*n为组合债券的数量，T为风险值的期限，为置信水平*/prociml;use&gendat;readallvar{P}intoP;readallvar{sigma}intoS;readallvar{YTMr}intoYTMr;readallvar{V}intoV;readallvar{Par}intoPar;use&corrmat;readallvar('c1':c&n)intoC;VaR1=j(&n,1,0);Pf=j(&n,1,0);YTM=j(&n,1,0);l=probit(1-&alpha);doi=1to&n;YTM[i,]=YTMr[i,]+l*S[i,];Pf[i,]=Par[i,]/(1+YTM[i,]);VaR1[i,]=V[i,]*abs(Pf[i,]-P[i,]);end;VaRp1=sqrt(t(VaR1)*C*VaR1);VaRpT=VaRp1*sqrt(&T);printPfYTMVaR1VaRp1VaRpT;%mendmbVaR;%mbVaR(2,0.05,gendat,corrmat,1);6.65%5.97%YTM93.7794.36futureP16.233.75yearVaR,19.86pyearVaR使用久期计算VaR•麦考利久期与修正久期•债券久期衡量的是债券价格相对于到期收益率变动的敏感性。•麦考利久期定义为，••久期可用于估计债券价格相对于到期收益率的变动幅度。债券价格对到期收益率求一阶导数得，1(17.2)1(1)ttttCdPdYTMYTMYTM(1)(1)(1)ttttttttttCtCYTMYTMDCPYTM•两边同乘以得••••称为修正久期，它度量了给定到期收益率的变化水平，债券价•格变动的百分比。•（17.3）式可变形为：•可以看出，价格变动表示为到期收益率变动的线形函数。1/P*111(17.3)1(1)1ttttCdPDDPdYTMPYTMYTMYTM*D*(17.4)dPPdYTMDVaR计算•单只债券•对于单只债券，假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为的正态分布，则给定置信水平，最不利情形下的到期收益率变动为，•l是所选置信水平（如）所对应的分位数（如1.65）。•利用到期收益率的变动和公式（1.4）就可以计算出未来的债券价格变化量。则一年期的VaR为，•T年期的VaR为，YTM1%YTMdYTMl1%1%95%**||||||YTMVaRdPPdYTMDPlD1VaRVaRTt年期年期•例17.3.假定一债券的价格为100，修正久期为4.33，到期收益率变动服从均值为0，标准差为1.2%的正态分布。给定95%置信水平下，计算一年期VaR。•解：最不利的情形下，到期收益率的变动量为，••所以债券价格变化量为，•••也就是说价格会下降8.66，即预测价格为YTM1000.01974.338.558.55dPPdDVaRdP1008.5591.45*YTM5%,1.2%,4.33,100,1DPT0.0197YTMdYTMlSAS程序：%macromdursbVaR(alpha,sigma,Dm,P,T);prociml;l=probit(1-&alpha);dYTM=l*σdP=-&P*dYTM*&Dm;VaR1=abs(dP);VaRT=VaR1*sqrt(&T);printdYTMdPVaR1VaRT;%mendmdursbVaR;%mdursbVaR(0.05,0.012,4.33,100,1);11.97%,8.55,8.55,8.55yearTdYTMdPVaRVaR债券组合•考虑一债券组合，由个债券组成，每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵，••据此，可以计算它的协方差矩阵11121,21222,12,kknnnknkrrrrrrrrrR2112122122212cov,cov,cov,cov,cov,cov,nnnnnnnrrrrrrrrrrrrΣ•和相关系数矩阵1211212122121212cov,cov,1cov,cov,1cov,cov,1nnnnnnnnnnrrrrrrrrrrrrC•假如投资在某债券上的资金为（为该债券的持有数量），则•该债券VaR为,•全部VaRi构成债券组合的VaR向量,•于是，该债券组合的VaR为，•T年期的VaR为，iiVPiV*||||iiiiiiVaRVdPVPlD12nVaRVaRVaRVaR12VaRCVaR121VaRVaRTTVaRCVaRt年期年期例17.4假设组合P包含两只债券。第一只为上例中的债券。假定第二只债券的价格为98.11，修正久期为5，到期收益率变动服从均值为0，标准差为1%的正态分布。假定这两只债券之间的相关系数为0.95，计算95%置信水平下，债券组合的一年期VaR。1001.2%4.3310.95,,,,1,5%,1.64598.111%50.951Tl*YTMPσDC解：SAS程序：datagendat;inputPsigmaVDm;cards;1000.01214.3398.110.0115;datacorrmat;inputc1c2;ca