边界元求解实例

稳态热传导计算实例稳态热传导问题为了说明问题的具体化,以二维的稳态热传导问题为例进行讨论。其数学模型为（1）边界条件为（2）（3）式中，k、α分别是固体的导热系数和固体与流体之间的对流换热系数，总的边界为Г=Г1+Г2。•当α=0时,q就是负的已知热流量，式（3）即为第二类边界条件；•当q=αTf/k(Tf为环境温度)时，式（3）就给出第三类边界条件。•q=λ/(cρ)，f=w/(cρ)；c为比热，ρ为密度，T为温度，w为单位时间单位面积内生成的热量。当f=0时，式（1）描述的是一个无内热源的热传导问题；当f≠0时,式（1）描述的是一个有内热源的热传导问题。(1)第一类边界条件：T=𝑇，这Γ1上T已知，α=0，q=∂T/∂n未知待求。(2)第二类边界条件：∂T/∂n=q，这时Γ2上q已知，α=0，T未知待求。(3)第三类边界条件：α、𝑞已知，这时Γ2上α为不等于零的已知值，𝑞=αTf/k已知，T、∂T/∂n未知。用边界元法求解这类问题的方法是：首先，将热传导数学积分方程化为边界积分方程；其次，利用边界积分方程求出Γ1上的未知q值和Γ2上的未知T值；最后，用区域内积分方程求解出区域内任意一点的温度值，从而最终求得区域内的温度场。当式（1）和（2）引入权函数𝑇∗，由加权余量法可得（4）对上面的拉普拉斯算子进行两次积分，可以得到（5）在式（5）中，如果把区域内的任意一点移到边界上去，那么方程中全部量都是边界上的量，这就是建立边界积分方程的基本思想。在二维问题中，先将点i移到边界上。为了避免使i点成为奇异点，把附近的边界设想以i点为中心的一段圆弧。用ε表示圆的小半径，Γ表示新形成的边界，式（5）可变成（6）式中Γε为新生成的圆弧边界，Γ−ε为Γ中除去Γε后的边界。当ε→0时，综合极限结果得（7）计算模型考虑一个二维稳态的传导问题，其物理模型如图所示，其尺寸为1m×1m，右侧和下部导热部分为边界Г1，其尺寸都为0.5m，右侧温度恒定为350K，底部温度为300K，其他部分绝热，为边界Г2。其数学模型为：𝜕2𝑇𝜕𝑥2+𝜕2𝑇𝜕𝑦2=0(x,y)∈(0，1)×(0，1)（8）边界条件为：T1=t1Kx=1∈Г1（9）T2=t2Ky=0∈Г1（10）其他边界为𝜕𝑇𝜕𝑛=0∈Г2（即图中打斜线的部分）（11）由前面的介绍知道，边界元方程为：（12）Ti为任意一点的温度值。式中的T和q是部分已知的，还有部分是未知的，需要求解。边界上未知量的计算将式（12）进行离散，由于本实例采用的屋里模型比较简单，并且是稳态情形，将边界离散成32个或80个单元，并且采用常单元插值，得（13）将上式写成矩阵的形式即（14）其中：（15）由已知条件知，在边界Г1上，{T}是已知的，而{Q}是未知的；在边界Г2上，{T}是未知的，而{Q}是已知的。为了进行矩阵运算，将已知的条件移到等式右边，未知的条件移到等式左边，这就形成了下面的矩阵方程：即[A]{X}=[B]区域内点的温度计算其系数的计算为