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稳态热传导计算实例稳态热传导问题为了说明问题的具体化,以二维的稳态热传导问题为例进行讨论。其数学模型为(1)边界条件为(2)(3)式中,k、α分别是固体的导热系数和固体与流体之间的对流换热系数,总的边界为Г=Г1+Г2。•当α=0时,q就是负的已知热流量,式(3)即为第二类边界条件;•当q=αTf/k(Tf为环境温度)时,式(3)就给出第三类边界条件。•q=λ/(cρ),f=w/(cρ);c为比热,ρ为密度,T为温度,w为单位时间单位面积内生成的热量。当f=0时,式(1)描述的是一个无内热源的热传导问题;当f≠0时,式(1)描述的是一个有内热源的热传导问题。(1)第一类边界条件:T=𝑇,这Γ1上T已知,α=0,q=∂T/∂n未知待求。(2)第二类边界条件:∂T/∂n=q,这时Γ2上q已知,α=0,T未知待求。(3)第三类边界条件:α、𝑞已知,这时Γ2上α为不等于零的已知值,𝑞=αTf/k已知,T、∂T/∂n未知。用边界元法求解这类问题的方法是:首先,将热传导数学积分方程化为边界积分方程;其次,利用边界积分方程求出Γ1上的未知q值和Γ2上的未知T值;最后,用区域内积分方程求解出区域内任意一点的温度值,从而最终求得区域内的温度场。当式(1)和(2)引入权函数𝑇∗,由加权余量法可得(4)对上面的拉普拉斯算子进行两次积分,可以得到(5)在式(5)中,如果把区域内的任意一点移到边界上去,那么方程中全部量都是边界上的量,这就是建立边界积分方程的基本思想。在二维问题中,先将点i移到边界上。为了避免使i点成为奇异点,把附近的边界设想以i点为中心的一段圆弧。用ε表示圆的小半径,Γ表示新形成的边界,式(5)可变成(6)式中Γε为新生成的圆弧边界,Γ−ε为Γ中除去Γε后的边界。当ε→0时,综合极限结果得(7)计算模型考虑一个二维稳态的传导问题,其物理模型如图所示,其尺寸为1m×1m,右侧和下部导热部分为边界Г1,其尺寸都为0.5m,右侧温度恒定为350K,底部温度为300K,其他部分绝热,为边界Г2。其数学模型为:𝜕2𝑇𝜕𝑥2+𝜕2𝑇𝜕𝑦2=0(x,y)∈(0,1)×(0,1)(8)边界条件为:T1=t1Kx=1∈Г1(9)T2=t2Ky=0∈Г1(10)其他边界为𝜕𝑇𝜕𝑛=0∈Г2(即图中打斜线的部分)(11)由前面的介绍知道,边界元方程为:(12)Ti为任意一点的温度值。式中的T和q是部分已知的,还有部分是未知的,需要求解。边界上未知量的计算将式(12)进行离散,由于本实例采用的屋里模型比较简单,并且是稳态情形,将边界离散成32个或80个单元,并且采用常单元插值,得(13)将上式写成矩阵的形式即(14)其中:(15)由已知条件知,在边界Г1上,{T}是已知的,而{Q}是未知的;在边界Г2上,{T}是未知的,而{Q}是已知的。为了进行矩阵运算,将已知的条件移到等式右边,未知的条件移到等式左边,这就形成了下面的矩阵方程:即[A]{X}=[B]区域内点的温度计算其系数的计算为
本文标题:边界元求解实例
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