等差数列的性质优质课

等差数列重要拓展课题：导航：等差数列的定义和通项公式是处理等差数列问题的出发点，化基本量进行计算是基本方法，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我们对函数研究时何尝不是同样的道理，Let’sgo!等差数列—几何意义—通项—公差—定义AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的，是一个常数。等差数列各项对应的点都在同一条直线上.知识回顾an=a1+(n-1)d或an+1=an+ddmnaamn)(或例1已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,等差数列的性质(一)解后反思：证明一个数列是等差数列的方法作业讲评：通项。求该数列的项和为的前）数列（等差数列。求证该数列是项和为的前）数列（,12}{2,2}{122nnSnannSnannnn1、若一个数列的通项公式为n的一次型函数an=pn+q,则这个数列为等差数列,公差为p.2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数.常数列的等差数列通项公式为常值函数。an=3n+5a1=8，d=313414118217an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x等差数列的性质(一)在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,1532375259725931111372223719522241532aaaaa35261742aaaaaaa即：等差数列的性质(二)思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.:,,.12484422adaadadaadadaadaadd解设这三个数为或设数技巧已知三个数成等差数列，且和为已知时常利用对称性设三数为：a-d,a,a+d四个数怎么设？(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.等差数列的设法及求解如何判断一个数列为等差数列为等差数列常数）（定义法：}a{)1n(daa)1(n1nn为等差数列常数）（递推法：}a{)1n(aa2a)2(n2nn1n为等差数列的一次型函数为通项法：}a{na)3(nndnaNqpnm,,,qpnmqpnmaaaa在等差数列中，为公差，若且则：等差数列的性质(三)（常用性质）数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多123121knknnnaaaaaaaa81321(6)aaa等差数列的性质(三)例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10例题分析(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1532分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31练习求数列通项公式21,aaa9,aaa}为等差数列，：已知{a变式753852n2d,求a187,aa56,aaaa}为等差数列，变式1：已知{a1747654n已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，……an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m等差数列的性质(四)已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d等差数列的性质(四)已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……ana7，a14，a21，……是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？等差数列的性质(四)已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。等差数列的性质(四)1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}也为等差数列，公差为____。4、若数列{an}与{bn}分别是公差为d1、d2等差数列，则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等差数列，{pan+qbn}也为等差数列。kd2、{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；3、{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列．dcd等差数列的性质(四)nn11989820082008{a}{b}a34,b66,a85,b15,ab例3：等差数列和中，求例题分析例4已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n≥2)，bn＝1an－2.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{bn}的通项公式．例题分析————重点题型：证明一个数列是等差数列(1)[证明]∵an＝4－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2＝2－4an＝2an－2an，∴1an＋1－2＝an2an－2＝12＋1an－2(n≥1)．故1an＋1－2－1an－2＝12(n≥1)，即bn＋1－bn＝12.∴数列{bn}是等差数列．例题分析(2)[解]∵{1an－2}是等差数列，∴1an－2＝1a1－2＋(n－1)·12＝n2，∴an－2＝2n，∴an＝2＋2n.例题分析n12n+2n+1nn{a}a1a4a2aa2a3)数列中，，，，求n1nn+1n5111{a}a1aaa3例：1)数列中，，，求n1nn+1n-1n211{a}a2aaan2a2)数列中，，，（）求整体思想例题分析