学考立体几何复习题

第1页（共16页）2020届学考立体几何复习题练习一．选择题（共6小题）1．某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（）A．B．C．D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．2(1题图）（2题图）3．如图，圆柱的底面半径为1，高为2，用一条铁丝从上底面的A点沿侧面缠绕一圈到达下底面的B点，所用铁丝的最短长度是（）A．2B．2C．2πD．2π+14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．24B．12C．8D．4(3题图）（4题图）5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）（5题图）A．2B．3C．4D．66．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）第2页（共16页）A．4πB．8πC．12πD．6π二．填空题（共5小题）7．如图，在正方体中，AB与CD所成角的大小为8．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a⊥β，α⊥β，则a∥α③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b．其中正确的命题是（填序号）．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则四个侧面△PAB，△PBC，△PCD，△PAD中，有个直角三角形．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC1与B1D1所成角为．(9题图）（10题图）11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成角的大小是．三．解答题（共7小题）12．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，A1B1的中点．（1）求证：AD⊥B1C；（2）求证：B1C∥平面AEC1．第3页（共16页）13．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：BC⊥平面PAG．14．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB＝AD，AE⊥BC．求证：（1）EF∥平面ACD；（2）AE⊥CD．15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BD⊥CD，点E、F分别是棱BC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求证：AE⊥BD．第4页（共16页）16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB＝SC，E是BC上的点，且SE⊥BC．（1）若F是SC的中点，求证：直线EF∥平面SAB；（2）若AB＝AC，求证：平面SAE⊥平面SBC．17．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝CD＝1，AD＝BC＝，AC＝．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥平面SCD；（2）求证：BD⊥SC．第5页（共16页）2019年11月17日136****8436的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为2的等边三角形，高为3，．故选：C．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）第6页（共16页）A．B．C．D．2【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S＝＝1，高h＝2，故体积V＝＝，故选：B．3．如图，圆柱的底面半径为1，高为2，用一条铁丝从上底面的A点沿侧面缠绕一圈到达下底面的B点，所用铁丝的最短长度是（）A．2B．2C．2πD．2π+1【解答】解：由题意知，将圆柱沿母线AB展开，所用铁丝的最短长度为l＝＝＝2．故选：B．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）第7页（共16页）A．24B．12C．8D．4【解答】解：由题意可知几何体是五棱柱，如图：可知：该几何体的体积是：＝12．故选：B．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝1，∴，又AA1⊥平面ABC，且AA1＝2，第8页（共16页）∴．故选：B．6．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．4πB．8πC．12πD．6π【解答】解：正方体体积为8，可知其棱长为2，正方体的体对角线为＝2，即为球的直径，所以半径为，所以球的体积为：＝4π．故选：A．二．填空题（共5小题）7．如图，在正方体中，AB与CD所成角的大小为【解答】解：因为BE∥DC，即∠ABE为所求，易得∠ABE＝，故答案为：．8．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a⊥β，α⊥β，则a∥α③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b．其中正确的命题是①③（填序号）．第9页（共16页）【解答】解：①，若a⊥α，b⊥α则a∥b，该命题就是线面垂直的性质定理，故①正确；②，若a⊥β，α⊥β，则a平行于α或a在平面α内，故不正确；③，若a∥α，a⊥β，根据面面垂直的判定有α⊥β，故正确；④，若a∥α，b∥β，α∥β，则那么a与b平行或异面，故④错误；故答案为：①③9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则四个侧面△PAB，△PBC，△PCD，△PAD中，有4个直角三角形．【解答】解：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB，PA⊥AD∴△PAB，△PAD为直角三角形事实上，BC⊥PA，BC⊥AB∴BC⊥平面PAB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC1与B1D1所成角为．第10页（共16页）【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1C1，则A1C1⊥B1D1，∵B1D1⊥AA1，A1C1∩A1A＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴异面直线AC1与B1D1垂直，∴异面直线AC1与B1D1所成角为．故答案为：．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成角的大小是60°．【解答】解：连结AC、AB1，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1C1∥AC，∴∠ACB1是异面直线A1C1与B1C所成角（或所成角的补角），∵AC＝B1C＝AB1，∴∠ACB1＝60°，∴异面直线A1C1与B1C所成角的大小是60°．故答案为：60°．第11页（共16页）三．解答题（共7小题）12．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，A1B1的中点．（1）求证：AD⊥B1C；（2）求证：B1C∥平面AEC1．【解答】解：（1）由正三棱柱可知，BB1⊥面ABC，∴BB1⊥AD．在△ABC中，由中线可得BC⊥AD，且BC∩BB1＝B，BC\BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1C（2）连接A1C交AC1于O，连接OE．在△A1B1C中，由中位线可知B1C∥OE，且B1C⊄平面AEC1，OE⊂平面AEC1∴B1C∥平面AEC1．13．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；第12页（共16页）（2）求证：BC⊥平面PAG．【解答】解（1）在△ABP中，由中位线可知EF∥AB．∵EF⊄面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）由正三棱锥可知，△ABC，△PBC均为等腰三角形．∵G为线段BC的中点．∴AG⊥BC，PG⊥BC，且AG∩PG＝G，AG、PG⊂面PAG，∴BC⊥平面PAG．14．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB＝AD，AE⊥BC．求证：（1）EF∥平面ACD；（2）AE⊥CD．【解答】证明：（1）因为点E，F分别是BD，BC的中点，所以EF∥CD，又因EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，从而EF∥平面ACD．（2）因为点E是BD的中点，且AB＝AD，第13页（共16页）所以AE⊥BD，又因AE⊥BC，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，BC∩BD＝B，故AE⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD．15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BD⊥CD，点E、F分别是棱BC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求证：AE⊥BD．【解答】证明：（1）因为点E、F分别是棱BC、BD的中点，所以EF是△BCD的中位线，所以EF∥CD，又因为EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，EF∥平面ACD．（2）由（1）得，EF∥CD，又因为BD⊥CD，所以EF⊥BD，因为AB＝AD，点F是棱BD的中点，所以AF⊥BD，又因为EF∩AF＝F，所以BD⊥平面AEF，又因为AE⊂平面AEF，所以AE⊥BD．第14页（共16页）16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB＝SC，E是BC上的点，且SE⊥BC．（1）若F是SC的中点，求证：直线EF∥平面SAB；（2）若AB＝AC，求证：平面SAE⊥平面SBC．【解答】证明：（1）因为，在△ABC中，SB＝SC，且SE⊥BC，所以，点E是BC的中点，又因为F是SC的中点，故EF∥SB，又因为SB⊂平面SAB，EF⊄平面SAB，故直线EF∥平面SAB，（2）因为，在△ABC中，AB＝AC，且E是BC的中点，故AE⊥BC，又因为SE⊥BC，且AE∩SE＝E，故BC⊥平面SAE．又因为BC⊂平面SBC，故平面SAE⊥平面SBC．17．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝CD＝1，AD＝BC＝，AC＝．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．第15页（共16页）【解答】证明：（1）∵AD＝，CD＝1，AC＝，∴AD2+CD2＝AC2，∴CD⊥AD．∵BD＝CD＝1，BC＝，∴BD2+CD2＝BC2，∴CD⊥BD，又∵AD⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD．（2）∵M是AD中点，S△ABM＝S△ABD＝＝．∴三棱锥A﹣MBC的体积V＝S△ABM•CD＝＝．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥平面SCD；（2）求证：BD⊥SC．【解答】证明：（1）∵底面ABCD为菱形，∴AB∥CD，∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD．（2）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD，连接AC，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC，第16页（共16页）∵SC⊂平面SAC，∴BD⊥SC．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/11/208:41:24；用户：13672348436；邮箱：13672348436；学号：20879972