上学期拓扑学考试试卷答案(B)

1/4中南大学拓扑学考试试卷参考答案（B）2009--2010学年二学期拓扑学课程48学时，3.0学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%时间:100分钟,专业年级：数学与应用数学2008级一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分)1、B2、C3、A4、D5、C二、简答题（每题4分，共20分）1、1A空间答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1A空间.2、0T空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是0T空间.3、列紧空间答案：设X是一个拓扑空间.如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间.4、同胚映射答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果:fXY是一个一一映射，并且f和1:fYX都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.5、正则空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、设12,TT是集合X的两个拓扑，则12TT不一定是集合X的拓扑()答案:×理由：因为(1)12,TT是X的拓扑，故1,XT，2,XT，从而12,XTT；(2)对任意的12,ABTT，则有1,ABT且2,ABT，由于12,TT2/4是X的拓扑，故1ABT且2ABT，从而12ABTT；(3)对任意的12TTT，则12,TTTT，由于12,TT是X的拓扑，从而AAUT1T,AAUT2T,故AAUT12TT；综上有12TT也是X的拓扑．2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()答案:√理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，:fXY是连续映射，因为对任意AY，都有1)fAX（,由于X中的任何一个子集都是开集，从而1()fA是中的开集，所以:fXY是连续的.3、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA（）答案:√理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p是X的开子集，且有pAp，即pdA,从而()dA.4、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间()答案：√理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令cBA，则,AB都是X中的非空闭子集，它们满足ABX，易见,AB是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空间.四、证明题（共40分）1、设{}ix是2T空间X的一个收敛序列,证明：{}ix的极限点唯一.(10分)证明：若极限点不唯一，不妨设1limiixy,2limiixy,其中12yy，由于X是2T空间，故1y和2y各自的开邻域,UV，使得UV.因1limiixy，故存在10N，使得当1iN时，ixU；同理存在20N，使得当2iN时，ixV.令12max{,}NNN,则当iN时，ixUV，从而UV,矛盾，故{}ix的极限点唯一.3/42、设(,)XT为拓扑空间，证明X是1T空间的充分必要条件是X的每一独点集都为闭集.(10分)证明：（必要性）设xX，{}cyx，由(,)XT为1T空间，故有y的开领域V，..stxV，所以{}cVx，所以{}cx为开集，从而{}x为闭集。（充分性）设,,xyXxy，由条件知{}x,{}y为闭集，故{}cxUyU，{}cyVxU，..,stxVyU，所以(,)XT为1T空间。3、设,XY是两个拓扑空间，:fXY是一个连续映射.如果X是一个紧致空间，证明()fX是Y的一个紧致子集.(10分)证明：设A是()fX的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意CA，1()fC是X中的一个开集，由于cCXA,从而有：111()()(())CCfCfCffXXAA所以1={()|}fCC1AA是X的开覆盖.由于X是紧致空间，所以1A有一个有限子覆盖，设为111{(),,()}nfCfC.因为11111()()()nnfCfCfCCX，从而1()nCCfX，即1{,,}nCC是A的一个子族并且覆盖()fX，因此()fX是Y的一个紧致子集.4、设X为非空集合，令|,CAAXC余有限其中为有限集T为试证：(1),X余有限T是一个拓扑空间；(5分)(2)若X为无限集，,X余有限T是连通空间；(5分)4/4(3),X余有限T是紧致空间。(5分)证明：(1)001212121211221212121201.212,,3,,,XXAAAAAAAAAXCAXCCCdeMorganAAXCXCXCCAAXCCA余有限余有限余有限余有限余有限余有限余有限由定义，.此外，设，，或，则，，则其中，为有限集.根据公式，有设不失一般性，令其中为有限集，则TTTTTTT000123XCXCX余有限余有限由可知，为上的一个拓扑。ATT(2)注意1212XCXCXCC；(3)对任意,,pqXpq，则XpUq＝－与qUXp分别为p与q的开邻域，且pqU，qpU，因此，X,余有限T为1T空间。设pU为p的任何开邻域，qU为q的任何开邻域，则12X,pqUCUXC＝－，其中1C，2C均为X的有限子集，并且1212pqUUXCXCXCC所以，X,余有限T非2T空间。（4）设A是X的任一个开覆盖，任取0AA，则0AXC（C为X的有限集），再记1{,...,}nCxx，由A是X的开覆盖，故,iAA..st,iixA1,...,in于是1{|0,1,...,}iAinA是X的有限子覆盖，,X余有限T是紧致空间.