反三角函数的图象与性质-简单的三角方程

1反三角函数的图象与性质简单的三角方程人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：反三角函数的图象与性质，简单的三角方程。二.重点、难点：1.反正弦函数：把，，的反函数叫做反正弦函数，记作yxxysin22arcsinarcsin()arcsinxxxx，，，该函数是奇函数，即，且在，1111上为增函数。2.反余弦函数：把，，的反函数叫做反余弦函数，记作yxxycos0arccosxx，，，该函数是非奇非偶函数，有11arccos()arccosxx；且在，上为减函数。11322.反正切函数：把，，的反函数叫做反正切函数，记作ytgxxyarctgxxRarctgxarctgxR，，该函数是奇函数，即，且在上为增函数。()40.()反余切函数：把，，的反函数叫做反余切函数，记作yctgxxyarcctgxxR，，该函数为非奇非偶函数，有arcctgxarcctgxR()，且在上为减函数。5.反三角函数式的恒等式：sin(arcsin)sin(arccos)xxxxxx，，，，111112cos(arccos)cos(arcsin)xxxxxx，，，，111112arcsin(sin)，，22arccos(cos)，，02另外：；，arcsinarccosxxarctgxarcctgx22［注］（1）反三角函数是三角函数在主值区间（含有锐角的一个单调区间）上的反函数，它表示三角函数主值区间上的角。（2）解三角方程时常用反三角函数表示角。（3）注意反三角函数的三角运算，以及三角函数的反三角运算，这就需要熟练掌握以上三角恒等式。6.简单的三角方程：（1）应掌握最简单的三角方程的解法，即形如sinx=a，cosx=a，tgx=a，ctgx=a的方程的解法，主要借助了图象或三角函数线先确定一个周期上的角的代表，而后利用该函数的周期性特点，再写出符合方程的所有角。（2）对于比较复杂的三角方程，通过换元，因式分解，齐次化切等方法可转化为一元二次方程求解，最终转化为最简单的三角方程。三.例题选讲：例1.函数，，的反函数为（）yxxsin232Ayxx.arcsin，，11Byxx.arcsin，，11Cyxx.arcsin，，11Dyxx.arcsin，，11分析与解：232xxx22，，需把角转化至主值区间。22xxxy，又sin()sin由反正弦函数定义，得xyarcsinxyyarcsin，又由已知得11所求反函数为，，yxxarcsin11例2.直线且的倾斜角为（）bxayabab()00AarctgbaBarctgab.().()CarctgbaDarctgab..分析与解：3由直线方程，易得直线的斜率kba由且，知，即abktgba0000又02注意到，，即角不在的主值区间上()22ytgx但，（，）()2022且tgtgtgba()()由反正切函数的定义，得arctgba()arctgbaarctgba()故选（C）。例3.若一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为（）AB.arccos.arcsin512512CD.arccos.arcsin152152分析与解：ABCCA中，设，设为最小内角，则依已知，得90sinsin()sinAA，，成等比数列。9090sin()sinsincossin229090AAAA即即，解得sinsinsin210152AAA注意到|sin|sinAA1512AA（，）由反正弦函数定义，得02512arcsin.故选（B）。例4.函数，，的图象为（）yxxarccos(cos)22422-2-2O2O2-2（A）（B）11-2-2O2O2-1（C）（D）分析与解：解析式可化简为，，，，yxxxxxarccos(cos)0220即，，，，显然其图象应为（）yxxxxA0220例5.函数，，的值域为（）yxxarccos(sin)()323AB..656056，，CD..323623，，分析与解：欲求函数值域，需先求，，的值域。uxxsin()3235323321321xxu，，即sin而在，上为减函数yuarccos11arccos()arccosarccos321u即，故选（）056yB例6.使成立的的取值范围为（）arcsinarccosxxxAB..022221，，CD..12210，，分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把x从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。若，则，，而，xxx0202arcsinarccos此时不成立，故arcsinarccosxxx0若，则，，，xxx00202arcsinarccos而在区间，上为增函数yxsin02又arcsinarccossin(arcsin)sin(arccos)xxxx即，解不等式，得xxx1222||又，故选（）01221xxB例7.若，则（）022arcsincos()arccossin()6ABCD....222222分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。arcsincos()arcsin(sin)arcsin(sin)2arccossin()arccos(sin)arccos(sin)arccoscos()(),222原式，故选（）()()22A例8.求值：（）（）123521213sinarcsin()(arccos)tg分析：arcsin()arcsin()sin352235表示，上的角，若设，则易得352，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。解：（）设，则13535arcsin()sin221452，，cossinsinsincos()()22235452425即sinarcsin()2352425（）设，则21313arccoscos012232，sincostg2111322322cossin7即tg121322arccos例9.解方程4212sinsincosxxx分析一：若想把降次，则对逆用二倍角正弦公式，可转化为sinsincos22xxx辅助角化积的结构，进一步可化为一个函数式的形式。解一：原方程化为412221cossinxx即sincos2221xx5221sin()xarctgsin()2255xarctg22255xarctgkarcsin或22255xarctgkkZarcsin（）xkarctg1221255arcsin或（）xkarctgkZ12221255arcsin分析二：若注意到1=sin2x+cos2x，及方程各项均为二次式（齐次）可考虑齐次化切的变形，转化为以tgx为未知数的方程。解二：原方程化为32022sinsincoscosxxxxcoscosxx02，方程两边同除以，得32102tgxtgxtgxtgx113或xkxkarctgkZ413或，（）例10.设，是方程的二根，且，xxxxarctgx12215450sincos8arctgx2，求的值。解：xxxx1225450，是方程的二根sincosxxxxxx12121250450sincos,中一正一负，且正根绝对值大于负根绝对值02由，得tgaxtgxtgtgtgtg12545sincostgtgtgtgtgtg()sincossincos151455151010【模拟试题】一.选择题：12.cos函数，，的反函数为（）yxxAyxx.arccos，，11Byxx.arccos，，11Cyxx.arcsin5211，，Dyxx.arcsin3211，，22313.arcsinarccos若，，则（）AB..CD..无法确定其大小关系313.arcsinarccos()若，则（）xxABCD....131322322342323.arcsin(cos)()函数，，的值域为（）yxxAB.().33，，CD..()（，），32323950102.sin设（，），则在，内使的的取值范围为（）axaxAa.arcsin0，Baa.arcsinarcsin，Ca.arcsin，Daa.arcsinarcsin，2二.填空题：63240.直线的倾斜角为。（用反正切表示）xy71.arccos()arccos若，则的取值范围为。xxx8121.arcsin函数的定义域为，值域为。yx92302.coscos方程在（，）内的解为。xx1043.arcsinsin()。三.解答题：11328102.sinsin解方程xx12302.sincos若方程在（，）上有相异而解，求实数的取值范xxmm围。10【试题答案】一.选择题1.D2.A3.C4.B5.B提示：120.cos()cosxxxxy，，，且由反余弦函数定义，得xyxyarccos()arccos2另外，由，得sin()cosarcsinxxyxy3232反函数解析式为或yxyx232arccosarcsin,其中，x112.欲比较两反三角函数值的大小，可先比较其正弦值大小sinsin()sin()232230202，又、，在，上为增函数yx.故选（）。A3.arcsinsin(arcsin)求，就需从中分离，可利用xxxxx故需对等式两边取正弦，得sinarcsinsinarccos()x13即，故选（）xC223432312162.()cos