充分条件与必要条件的解题技巧

充分条件与必要条件1.定义：对于“若p则q”形式的命题：①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若且，则是成立的必要不充分条件；④若既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充分必要条件（充要条件）.⑤若且，则是成立的既不充分也不必要条件．从集合的观点上关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系．建立与、相应的集合，即成立，成立．若，则是的充分条件，若，则是成立的充分不必要条件；若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；若，则是成立的充要条件；若AB且BA，则是成立的既不充分也不必要条件．例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[]A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．变式1设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的[]A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件qppqpqpqqppqpqpq:pAxpx:qBxqxABpqABpqBApqBApqABpqpq例2p是q的充要条件的是[]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解例3（年北京）“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分解：当时，，w即．反之，当时，有，或，即．综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A．变式3ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[]A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0例4（2008福建)设集合,,那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．对．且，即，是的充要条件．选．DpqqppqpqD20092()6kkZ1cos222()6kkZ1cos2cos4cos332kpq1cos222236kkkZ2236kkkZqp2()6kkZ1cos2201xAxx03BxxmAmB解：∵，∴.故选A．例5．已知p：40xm，q：220xx，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围解：由p：40xm得4mx；由q：220xx得1x或2x∵p是q的一个充分不必要条件，∴只有pq成立，∴14m，∴4m变式5已知命题：，命题：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数的取值范围．例6已知命题：有两个不等的负根，命题：10无实数根．若命题与命题有且只有一个为真，求实数的取值范围．分析：对命题和命题的条件进行化简可得的范围，再对、的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出的取值范围．解：∵方程有两个不等的负根，∴，解得.∵方程无实数根，∴，解得.若命题为真，命题为假，则，得.若命题为假，命题为真，则，得.综上所述，实数的取值范围为或．变式6命题p：关于x的不等式2240xax对一切xR恒成立；01AxxABp1123xq222100xxmmpqmp210xmxq2442xmxpqmpqmpqm210xmx2400mm2m2442xmx102162160m13mpq213mmm或3mpq213mm12mm12m3m命题q：函数()afxlagx在(0,)上递增若pq为真，而pq为假，求实数a的取值范围。【解释】变式1解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5∴甲是乙的充分不必要条件，选A．变式3解：用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝当a≠0时综上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．变式5解：记，∵￢是￢的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件，即.∴，解得.所以实数的取值范围是变式6．解：命题p：关于x的不等式2240xax对一切xR恒成立；－．故排除、、选．12ABDC解常规方法：当＝时，＝－．a0x121a0ax2x10021a0a12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．24422aa2a0ax2x100221a21a1a02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．2442aa1122103xAxxx222100110BxxxmmxmxmmpqqpBA012110mmm03mm03mpT22240a，即22a命题q：函数()afxlagx在(0,)上递增；qT1a∵pq为真，而pq为假，∴pq一真一假p真q假时，pT22a；qF1a;∴21ap假q真时，pF22aa或；qF1a;∴2a