实变函数-有界变差函数

目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。4.4有界变差函数第四节微分与不定积分第四节有界变差函数基本内容：一．单调函数可导性的推论问题1：如果fn是单调函数序列，且，不难看出f也是单调的，从而也几乎处处有有限导数，fn的导数与f的导数有什么关系？等式是否成立？..eaffn..''eaffn第四节有界变差函数(1)Fubini定理问题2：跳跃函数的导数是什么？推论1(Fubini)设是上的单调增加有限函数序列，且在上处处收敛到有限函数f，则。}{nf1nnfnnbaeaff],[..''],[ba],[ba证明：不妨设，否则可令，对讨论就行了。记，则都是单调增加函数，故去掉一个零测集E后，都存在。),2,1(,0)(nafn)()()(~afxfxfnnnnf~niinxfxS1)()()(),(xfxSnn),2,1)(('nxFn第四节有界变差函数因及单调增加，故其导数均非负，从而当时，。由此得，级数几乎处处收敛。往证。)()()(1xfxSxSnnn)()(xSxfnEx)(')(')('1xfxSxSnn1)('lim)('nnnnxSxf1)(')('nnxfxf第四节有界变差函数由于，对任意自然数k，可取，使得，但也是单调增加函数，且，所以,)()(limbfbSnnknknbSbfk21)()()()(xSxfkn0)()(aSafkn.121)}()({)}()({0111kkknknbSbfxSxfkk第四节有界变差函数这说明也是由单调增加函数列构成的收敛级数，将上面关于的结论用到上，得1)}()({knxSxfk)()(xSxfkn1)(knxf1)}()({knxSxfk..)}(')('{1eaxSxfknk第四节有界变差函数进而，级数的通项趋于0，即，也即。证毕。..0))(')('(limeaxSxfknk],.[.)(')('1baeaxfxfnn第四节有界变差函数证明：设是上的单调增加函数，注意对任意，，由推论1立得证明。推论2若是上跳跃函数，则。..0'ea2121,,),(baxn..0)('.,.0)('1eaxxeaxxnn],[ba],[ba第四节有界变差函数第四节有界变差函数二．单调函数导数的可积性问题3：从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出，单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式，考虑更弱的问题：单调函数的导数是否R-可积？是否L-可积？其导函数的积分与该函数有没有什么关系？定理5设f是上的单调增加有限函数，那么是上的Lebesgue可积函数，且。'f],[ba],[ba],[)()()('baafbfdxxf第四节有界变差函数证明：将f扩充到上，对任意，令，并令，它是Riemann可积函数，而且。]1,[ba]1,(bax)()(bfxfnxfnxfxn1)()1()(0)(xn第四节有界变差函数注意到],[],[]))()1(([lim)(limbanbanndxxfnxfndxx)0()(afbfnaandxxfn1])([lim,)()(afbf第四节有界变差函数],[],[)(lim)('bannbadxxdxxf由Fatou引理得证毕。],[)(limbanndxxdxxbann)(lim).()(afbf第四节有界变差函数应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差别，此处严格不等式样可能成立的，例如，若，则。于是，但，，故，所以。)()(),,(00xxxbax..0)(eaxbadxx0)(1)(b0)(a1)()(abbaabdxx)()()(第四节有界变差函数另外，还应注意到，由定理4，上的单调函数f几乎处处有有限导数，因此定理5中导数不存在的点x处可规定为任意值。这就是说，在一个零测集上可以任意改变函数值不会对的积分产生影响。],[ba)(xfff第四节有界变差函数从我们还看到另一个事实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇异函数，即下面的定义6设f是上的有限函数，若在上，且f不恒为常数，则称f为上的奇异函数。..0)(0eaxx..0)(eaxf],[ba],[ba],[ba第四节有界变差函数三．有界变差函数的定义问题4：[a,b]上单调函数除了跳跃度总和不超过，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？第四节有界变差函数)()(afbf第四节有界变差函数前面已经看到，单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数不能通过其导数的积分还原。那么，何种函数能满足牛顿一莱尼兹公式呢(当然，这里是相对于Lebesgue积分而言)？这正是下面要讨论的问题。定义7设是上的有限函数，对的任一分划，记称为f关于分划的变差。第四节有界变差函数)(xf],[babxxxan10:niiixfxffV11|,)()(|),(),(fV],[ba第四节有界变差函数若存在常数M，使对一切分划，都有，则称为上的有界变差函数。令，其中取遍的所有分划，称为f在上的总变差。MfV),()(xf),(sup)(fVfVba],[ba],[ba)(fVba],[ba由定义7不难看出，上有限单调函数f都是有界变差函数，且。第四节有界变差函数|)()(|)(afbffVbaf],[ba四.有界变差函数的性质性质1若f是上的有界变差函数，则f必为有界函数。第四节有界变差函数],[ba证明：若不然，则存在。使，由f是有界变差函数知。对任意n，作的分划，则第四节有界变差函数],[}{baxn|)(|nxf)(fVba],[babxann:|)()(||)()(|),(nnnxfbfafxffV.|)(||)(||)(|2bfafxfn由，得。这与矛盾，故必为有界函数，证毕。第四节有界变差函数)(),(fVfVban|)(||)(|)(|)(|2bfaffVxfban|)(|nxf第四节有界变差函数性质2若都是上的有界变差函数，则对任意常数也是上的有界变差函数，且。gf,gafa,,],[ba)(||)(||)(gVfVagafVbababa],[ba证明：设为的任一分划，则第四节有界变差函数bxxxan10:],[ba),(gafV|)()(||||)()(|||1111iiniiinixgxgxfxfa),(||),(||gVfVa)(||)(||gVfVababa)(||)(||)(gVfVagafVbababaniiiiixgxfaxgxfa111|))()(())()((|所以，证毕。证明：由性质1知存在M，使得，设为的任一分划：性质3设是上的有界变差函数，则也是有界变差函数。第四节有界变差函数gf,MxgMxf|)(|,|)(|bxxxan10],[bafg],[ba故，证毕。第四节有界变差函数niiixfgxfgfgV11|))(())((|),()()()()(|11iiiinixgxfxgxf|)()(||)()(|1111iiniiinixfxfMxgxgM))()()(gMVfMVfgVbababa则|)()()()(111iiiixgxfxgxf)()(gMVfMVbaba证明：若f不为常数，则存在使得或，作的分划，则，这与矛盾，故f必为常数，证毕。性质4若f是上的有界变差函数，且，则f是常数。第四节有界变差函数],[ba0)(fVba],[0bax)()(0afxf)()(0bfxfbxa0:0),(fV0)(fVba],[ba第四节有界变差函数性质5设f是上的有界变差函数，，则，特别地，也f是上的有界变差函数。],[],[badc)()(fVfVdcba],[dc],[ba第四节有界变差函数证明：任取的一个分划，对应到的一个分划，于是，进而，证毕。],[dcdxxxcn10:],[babxxxxxxxannn212010~~~~~:~)(),(),(fVfVfVba)()(fVfVbadc第四节有界变差函数性质6设f是上的有界变差函数，c是内任一数，则。],[ba),(ba)()()(fVfVfVbccdba证明：由全变差定义，对任意，可以找到分划及分划，使得，。0cxxxan101:byyycm102:)(),(1fVfVca)(),(2fVfVbc将合并起来得的一个分划，于是由及得，由的任意性立得。第四节有界变差函数21,],[babyyyxxxamn10101:)(),(fVfVba),(),(),(21fVfVfV)(2)()(fVfVfVbabcca)()()(fVfVfVbabcca第四节有界变差函数反之，对任意，设是的一个分划，满足，则对任意，存在，使得，于是0bxxxan10:],[ba)(),(fVfVba),(bac0i100iixcx100ni进而，任由的任意性得，所以，证毕。第四节有界变差函数|)()(|),(11iinixfxffV|)()(||)()(|0011iiiiixfcfxfxf|)()(||)()(|1210iiniixfxfcfxf)()()(fVfVfVbccaba)()()(fVfVfVbccaba)()()(fVfVfVbccaba)()(fVfVbcca第四节有界变差函数性质7若是上的有界变差函数列，是有界数列，且处处收敛到，则g也是上的有界变差函数，且。}{kg)}({kbagV)(xgk)(xg],[ba)(sup)(kbakbagVgV],[ba所以，证毕。第四节有界变差函数证明：记，任取的一个分划，则)(supkbakgVM],[babxxxan10:|)()(|),(11iinixgxggVniikikkxgxg11|)()(|limMgVkbak)(lim)(sup)(kbakbagVgV