基于核心素养的主题教学实践与思考——以“用二分法求方程的近似解”为例

基于核心素养的主题教学实践与思考∗———以“用二分法求方程的近似解”为例●阮文婷　孔德鹏　　(南京航空航天大学附属高级中学ꎬ江苏南京　２１０００７)　　摘　要:文章以数学核心素养为导向ꎬ着眼于学生能力的长远发展ꎬ整体把握“用二分法求方程的近似解”内容进行主题教学设计ꎬ注重教学要素分析与现代信息技术的使用ꎬ构建逻辑连贯的教学过程.关键词:二分法ꎻ主题教学ꎻ核心素养中图分类号:Ｏ１２２.１　　　　文献标识码:Ａ　　　　文章编号:１００３－６４０７(２０１９)０５￣００１３￣０４　　２０１８年江苏省南京市秦淮区与笔者所在学校联合举办了主题为“构建智慧课堂ꎬ提升核心素养”的课堂教学开放日活动.笔者开设了一节题为“用二分法求方程近似解”的公开课.在磨课过程中ꎬ笔者反复修改与打磨ꎬ积极尝试课堂教学ꎬ对数学教学有了新的认识.基于数学核心素养的教学ꎬ首先要改变教学设计的思路ꎬ要在整体观下进行主题单元式的教学ꎬ引导学生宏观认识数学内容与方法ꎻ其次要重视情境创设与问题设计ꎬ促进学生对数学本质的理解[１].«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»(以下简称«新课标»)给出了主题教学设计的一般范式:确定主题内容、分析教学要素、编制主题教学目标、设计主题教学流程、评价反思及修改[２].本文以“用二分法求方程的近似解”为例ꎬ探讨基于数学核心素养的主题教学整体设计问题.１　教学要素分析１.１　内容分析二分法是将函数零点所在的区间不断地一分为二ꎬ使区间的两个端点逐渐地靠近零点ꎬ进而得到零点的近似值ꎬ它是求一元方程近似解的常用方法.本节课建立在函数零点的知识基础之上ꎬ体现了函数与方程的转化与化归、数形结合思想ꎬ渗透了算法思想.二分法所蕴含的无限逼近思想为高等数学学习极限及数值逼近作了铺垫ꎬ是学生深入学习数学的基石.１.２　要求分析用二分法求方程的近似解是函数与方程的应用.«新课标»指出:函数应用不仅体现在用函数解决数学问题ꎬ更重要的是用函数解决实际问题.本单元的学习可以帮助学生掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法).«新课标»要求:结合学过的函数图像ꎬ了解函数零点与方程解的关系ꎻ结合具体连续函数及其图像的特点ꎬ了解函数零点存在定理ꎬ探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图ꎬ能借助计算工具用二分法求方程近似解ꎬ了解用二分法求方程近似解具有一般性ꎻ要会用函数的观点解决方程近似解问题ꎬ能够用图形探索解决问题的思路ꎬ形成数形结合的思想ꎬ理解二分法本质.１.３　学情分析学生在初中阶段对一元一次方程、一元二次方程的求解较为熟练ꎬ高中阶段可以解决简单的对数方程、指数方程ꎬ但对于一般方程的解法却很陌生.学生学习了“函数的零点”这一节ꎬ具备了用函数的观点看方程的能力ꎬ能够将方程的解转化为函数的零点问题ꎻ前两章的学习为学生画一些基本初等函数的图像提供了工具ꎬ为本节课的学习积累了数学活动经验.１.４　教材分析本文主要对人教Ａ版、人教Ｂ版和苏教版教材中有关“用二分法求方程的近似解”内容进行研究ꎬ三者在二分法的引入上各有千秋:人教Ａ版以函数的零点例题为切入点ꎬ提出问题(二分法的必要性)ꎬ从而解决问题ꎬ环环相扣ꎻ人教Ｂ版从探究􀅰３１􀅰２０１９年第５期中学教研(数学)∗收文日期:２０１８￣１２￣１１ꎻ修订日期:２０１９￣０１￣１８基金项目:江苏省南京市教育科学“十三五”规划２０１８年度课题(Ｌ/２０１８/３４１)作者简介:阮文婷(１９８９—)ꎬ女ꎬ江苏徐州人ꎬ中学一级教师.研究方向:数学教育.代数方程的数学史出发ꎬ提出问题及解决方案———二分法.这两个版本均是将方法直接呈现给学生ꎬ缺乏学生主动参与ꎬ不利于学生思维的发展.苏教版首先提出问题ꎬ继而从学生熟悉的一元二次方程入手ꎬ引导学生探索解决问题的一般方法ꎬ让学生经历数学发现的过程ꎬ感受数学知识的获得是自然而然的.１.５　重点与难点分析二分法是学生在高中阶段第一次接触逼近思想ꎬ思维上有一定难度.本节课将上节课的例题进行改造ꎬ拟从数学内部提出问题引入情境ꎬ让学生初步感受“逼近”思想ꎬ设置脚手架ꎬ为后续“用逼近思想求方程的近似值”作了方法上的铺垫ꎬ降低了思维难度ꎬ试图突破难点.在教学中ꎬ教师以问题串的形式引导学生探究出用二分法求方程的近似解ꎬ通过合作交流总结其步骤ꎬ并将其应用于解决其他问题ꎬ突出了本节课的重点.１.６　教学方式分析本节课通过“创设情境ꎬ提出问题—问题引领ꎬ探究方法—归纳概括ꎬ形成算法—数学应用ꎬ深化方法—总结反思ꎬ提炼方法”设置教学流程.学生通过小组合作ꎬ利用现代信息技术工具———Ｐａｄ进行操作ꎬ探索求方程近似解的方法ꎬ从中获得用二分法求方程近似解的基本活动经验.２　编制教学目标设计１)从数学内部引出问题ꎬ让学生初步感受二分法思想ꎻ２)学生经历探究求方程近似解的过程ꎬ体会用函数的观点看方程的思想ꎬ获得用二分法求方程近似解的步骤ꎬ提升学生直观想象、数学抽象素养ꎻ３)学生通过练习ꎬ经历“用二分法求方程近似解”的过程ꎬ利用现代信息技术ꎬ从“形”的角度直观感知解的大致范围ꎬ从“数”的角度逻辑推理ꎬ形成算法思想ꎬ培养学生数学运算及数据分析素养.３　教学流程设计３.１　创设情境ꎬ提出问题师:上节课我们证明了函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ｘ＋１在(－１ꎬ０)上只有一个零点.请大家思考ꎬ这个零点离区间的哪个端点更近?生１:可以试试计算ｆ(－０.５)＝０.３７５０ꎬ而ｆ(－１)＝－１ꎬ由零点存在定理得ｆ(ｘ)在(－１ꎬ－０.５)上有零点.师:想法非常好!这样得到零点的范围是(－１ꎬ－０.５)ꎬ此时零点离哪个端点更近?还能将这个问题继续下去吗?生２:再取区间中点－０.７５尝试.师:像这样不断取中间值来缩小数值范围的方法就是“二分法”.下面就来具体看看二分法在数学内部是如何应用的.设计意图　从数学内部出发ꎬ改造上节课的例题作为本节课问题情境的引入课题ꎬ亲切自然ꎬ有效衔接知识ꎬ体现了联系性ꎬ也进一步激发了学生探究的欲望ꎻ通过师生对话提出二分法ꎬ让学生初步体会逼近思想ꎬ为下面探究缩小零点范围提供思路.３.２　问题引领ꎬ探究方法问题１　研究方程２ｘ＋ｘ－４＝０解的情况.师:这个方程有没有解?生３:有解ꎬ分别画出ｙ＝２ｘ和ｙ＝４－ｘ的图像ꎬ有一个交点说明方程有一个解.师:漂亮!将方程２ｘ＋ｘ－４＝０解的问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题ꎬ处理得很巧妙!既然方程有解ꎬ解是什么?生４:这个方程解不出来呀!师:解的范围是什么?生４:(１ꎬ２).师:你的理论依据是什么?生４:根据图像特点进行尝试ꎬ然后猜测.师:刚才生３将方程ｆ(ｘ)＝０的解转化为两个函数交点的横坐标问题ꎬ上节课我们学习了一个新的概念ꎬ它告诉我们方程ｆ(ｘ)＝０的解还可以看成什么?生(众):函数ｆ(ｘ)的零点.师:如何来确定零点的范围?生(众):零点存在定理.师:这里我们如何确定方程的解在(１ꎬ２)上?生５:设ｆ(ｘ)＝２ｘ＋ｘ－４ꎬ由ｆ(１)０ꎬｆ(２)０ꎬ知函数ｆ(ｘ)的零点在(１ꎬ２)上ꎬ即方程ｆ(ｘ)＝０的解在(１ꎬ２)上.设计意图　引发学生认知上的冲突ꎬ激发学生探究的欲望.通过上节课的学习ꎬ学生积累了利用“零点存在定理”确定零点范围的活动经验ꎬ在教师的启发下ꎬ将所学知识迁移到本节课ꎬ培养学生分析和解决问题的能力.问题２　怎样求出这个方程的近似解?师:现在得到方程的解在(１ꎬ２)上ꎬ这个范围有点大ꎬ你有什么办法解决呢?同学之间相互讨论一下.生６:我想取中点１.５试试ꎬ发现ｆ(１.５)０ꎬ说明方程的解在(１ꎬ１.５)上.师:很好ꎬ把方程解的范围缩小了一半ꎬ如果还想得到更精确的范围怎么办?􀅰４１􀅰中学教研(数学)２０１９年第５期生(众):再取中点.师:好!小组合作　利用手中的Ｐａｄꎬ一人操作计算器一人记录对应函数值符号ꎬ计算方程的解所在的区间.测试１　方程２ｘ＋ｘ－４＝０的解在以下哪个区间?(　　)Ａ.(１ꎬ１.２５)　　　　Ｂ.(１.２５ꎬ１.５)Ｃ.(１.５ꎬ１.７５)Ｄ.(１.７５ꎬ２)生７:取中点１.２５ꎬ计算得ｆ(１.２５)０ꎬ故选Ｂ.师:思路很清晰!(１.２５ꎬ１.５)这个区间范围还是大ꎬ怎么办?生(众):再取中点.师:取完中点后范围还是大怎么办?生(众):继续取中点.师:什么时候结束计算?生(众):算到范围很小很小.师:大家想法很好ꎬ实际上我们算到一定程度就够用了ꎬ数学上衡量这个程度的标准就是精度.举个例子ꎬ若要求精确到０.１ꎬ假设现在得到的区间是(０.３４３７５ꎬ０.３４７６５６２５)ꎬ则左右两个端点精确到０.１分别是多少?生(众):都是０.３.师:当左右端点精确到０.１时的值相等就结束计算ꎬ这个相等的值就作为近似值.下面动手操作ꎬ哪一个是你求的近似值?测试２　以下哪一个是你算的近似值?(　　)Ａ.１.２　　Ｂ.１.３　　Ｃ.１.４　　Ｄ.１.５生８:第一次取中点１.３７５ꎬ由ｆ(１.３７５)０知解在(１.３７５ꎬ１.５)上ꎬ不能结束ꎻ继续取中点１.４３７５ꎬ由ｆ(１.４３７５)０知解在(１.３７５ꎬ１.４３７５)上ꎬ不能结束ꎻ继续取中点１.４０６２５ꎬ由ｆ(１.４０６２５)０知解在(１.３７５ꎬ１.４０６２５)上ꎬ精确到０.１都是１.４.故选Ｃ.师:回答得非常好!设计意图　通过设置两道测试题ꎬ借助信息技术工具ꎬ让学生初步经历用二分法求方程近似解的过程.测试１是借助二分法缩小零点范围的直接应用ꎬ测试２在给定精度下求近似解ꎬ此过程积累的活动经验是学生抽象概括求方程近似解步骤的依据.３.３　归纳概括ꎬ形成算法师:像这样通过不断取中点将区间一分为二ꎬ进而缩小零点所在区间的方法就是二分法ꎬ二分法是求一般方程近似解的常用方法.刚才使用二分法求得方程２ｘ＋ｘ－４＝０精确到０.１的近似解为１.４.图１是小组合作、梳理求方程近似解的步骤.图１　　设计意图　学生通过梳理过程、提炼步骤ꎬ不但加深对知识的掌握ꎬ同时也培养了数学抽象素养.学生总结的步骤渗透了算法思想ꎬ为学生解决问题提供了方法论的指导.３.４　数学应用ꎬ深化方法问题３　利用计算器ꎬ求方程ｘ３＝３ｘ－１的近似解(精确到０.１).师:先判断方程有几个解?大致范围是什么?设计意图　培养学生数形结合的意识ꎬ快速地确定解的个数及锁定解的大致范围.生９:分别画函数ｘ３和３ｘ－１的图像ꎬ有３个交点ꎬ代入几个点试试看ꎬ发现３个解分别在(－２ꎬ－１)ꎬ(０ꎬ１)ꎬ(１ꎬ２)上.师:很好请坐!现在第一组求(－２ꎬ－１)上的近似解ꎬ中间两组求第二个近似解ꎬ第四组求最后一个的近似解!(１５分后拍图对比讲评.)生１０:最后求得区间为(－１.９３７５ꎬ－１.８７５)ꎬ精确到０.１ꎬ近似解为－１.９ꎬ计算结束.师:在(０ꎬ１)上的近似解的计算次数比较多ꎬ这组同学计算很仔细ꎬ最终得到近似值为０.３.同样的方法ꎬ最后一组同学得到近似解１.５.同学们掌握得不错ꎬ计算非常耐心!３.５　总结反思ꎬ提炼方法问题４　这节课你有哪些收获和感悟?通过本节课的活动实践ꎬ学生不仅学到了数学知识ꎬ深刻体会了转化与化归、数形结合及逼近思想在数学问题中的渗透ꎬ同时对用函数的观点看方程有了更清晰的认识.设计意图　通过小结ꎬ学生在知识层面有了更清晰的认识和更准确的把握ꎬ在思想层面所涉及的数学思想对提升学生数学素养发挥着积极的作用.４　教学反思“用二分法求方程的近似解”在高考试题中虽不多见ꎬ但是考查视角新颖ꎬ常与函数、方程、不等(下转第１６页)􀅰５１􀅰２０１９年第５期中学教研(数学)初中几何中常见的３类最短距离问题探究∗●吴一峰　　(大联初级中学ꎬ浙江东阳　３２２１００)　　摘　要:求最短距离是初中数学的难点之一ꎬ也是中考命题的热点之一.文章分析归纳了常见的３种最短距离的基本模型特征、理论依据、转化方法ꎬ从而帮助学生分辨３种模型ꎬ利用轴对称或平移等方法转化为既符合题意又符合某一模型的问题ꎬ提高学生分析问题和解题的能力.关键词:模型ꎻ甄別特征ꎻ基本结构中图分类号:Ｏ１２３.１　　　　文献标识码:Ａ　　　　文章编号:１００３－６４０７(２０１９)０５￣００１６￣０５　　初中数学学习中经常会遇到距离最短这个问题ꎬ同时这也是初中数学中的重要问题之一.最短距离在