高中数学北师大版必修3第3章3《模拟方法-概率的应用》ppt课件

概率第三章第三章§3模拟方法——概率的应用第三章§3成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修3有部分课件由于控制文件大小，内容不完整，请联系购买完整版课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习向一个圆面内随机地投一粒黄豆，如果该粒黄豆落在圆内任意一点都是等可能的，那么这个试验是古典概型吗？因为试验的所有可能结果是圆面内的所有点，试验的所有结果是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个试验不是古典概型．本节课我们来研究此类试验的特征及其概率.1.模拟方法虽然可以通过做大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但是，人工进行试验费时、费力，并且有时是不可能实现的．因此，我们常常借助________来估计某些随机事件发生的概率，用________可以在短时间内完成大量的重复试验．对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值．模拟方法在实际中有很多应用．模拟方法模拟方法2．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的________、________无关，即P(点M落在G1内)＝____________，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的________，相应的概率是________或________．形状位置G1的面积G的面积有限区域体积之比长度之比1.几何概型与古典概型的区别是()A．几何概型的基本事件是等可能的B．几何概型的基本事件的个数是有限的C．几何概型的基本事件的个数是无限的D．几何概型的基本事件不是等可能的[答案]C[解析]几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个．2．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110B.19C.111D.18[答案]A[解析]试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝110.3.如图，边长为2的正方形有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影部区域的面积为()A.43B.83C.23D.无法计算[答案]B[解析]由几何概型的公式知：S阴影S正方形＝23，又S正方形＝4，∴S阴影＝83.4．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为________m.[答案]20[解析]已知河宽为xm，则该物品能被找到的概率为500－x500，由题意知500－x500＝2425，解得x＝20.5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是__________、__________、__________.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯[答案]2511535[解析]在75秒内，每一时刻到达路口的时候是等可能的，属于几何概型．(1)P＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯的时间全部时间＝4575＝35.课堂典例讲练长度模型的几何概型如图A，B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？[思路分析]在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．[规范解答]记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×13＝10(米)，所以P(E)＝1030＝13.[规律总结]在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形边上爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为________．[答案]12[解析]如图所示，设事件A：蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1.试验的全部区域构成的长度是3＋4＋5＝12，事件A的区别是1＋2＋3＝6.则P(A)＝612＝12.角度模型的几何概型在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．[思路分析]射线OC随机地落在∠AOB内部，故∠AOB为所有试验结果构成的区域，作∠BOE＝∠AOD＝30°，当射线OC落在∠DOE内部时，∠AOC和∠BOC都不小于30°，故∠DOE为构成事件的区域；这显然是一个与角度有关的几何概型．[规范解答]以O为起点作射线OC是随机的，而射线落在∠AOB内的任何位置是等可能的，作∠AOD＝∠BOE＝30°，则OC落在∠DOE内符合题目要求，OC落在∠DOE内只与∠DOE的大小有关，符合几何概型的特点．设事件A为“射线OC落在∠DOE内”．事件A的度量是90°－30°－30°＝30°，试验的全部结果的度量是90°，由几何概型的概率公式得P(A)＝30°90°＝13.[规律总结]事实上，本题可以分别求扇形AOB、扇形DOE的面积，然后用几何概型的公式进行计算．但是，如果从角度的变化进行分析，显然弧DE的长度是弧AB的长度的13，分析、计算更加简便．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．[解析]设事件A“射线OA落在∠xOT内”．事件A的几何度量是60°，试验的全部结果构成的几何度量是360°，所以，由几何概型概率公式，得P(A)＝mn＝60°360°＝16.面积模型的几何概型设点M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1时按均匀分布出现，试求满足：(1)x＋y≥0的概率；(2)x＋y1的概率：(3)x2＋y2≥1的概率．[思路分析]利用平面直角坐标系化归为平面点集求解．[规范解答]如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点组成一个边长为2的正方形ABCD，则S正方形ABCD＝4.(1)方程x＋y＝0的图像是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方，即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝12S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝24＝12.(2)设E(0,1)，F(1,0)，则x＋y＝1的图像是线段EF所在的直线，满足x＋y1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－12＝72，所以P(x＋y1)＝S五边形ABCFES正方形ABCD＝724＝78.(3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，且S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝S正方形ABCD－S⊙OS正方形ABCD＝4－π4.[规律总结]在研究射击、射箭、射门、投中、等待等实际问题转化成的几何概型时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．如图，假设你在圆上随机撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率为________．[答案]12π[解析]设圆的半径为1，则概率为12·1·1·π·12＝12π.体积模型的几何概型正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.(1)求点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率；(2)求点M距离面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于a3的概率；(3)求使四棱锥M－ABCD的体积小于16a3的概率．[思路分析]解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间的关系，利用相关公式求出其概率．本题中对几何概型问题的处理要以立体几何的相关知识为基础，空间想象能力为依托．[规范解答](1)因为棱长为a的正方体的体积V＝a3，由正方体的性质可知VB1－A1BC1＝16a3.所以点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率为P＝VB1－A1BC1V＝16.(2)因为两平行平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离为a，所以点M距离面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于a3的概率为13.(3)设M到平面ABCD的距离为h，由三棱锥的体积公式得，13a2h16a3，故ha2.所以使四棱锥M－ABCD的体积小于16a3的概率为12.[规律总结]分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少．以及所求的事件占有的几何体是什么几何体并计算出体积．在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？[解析]取出10mL种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)＝取出的种子的体积所有种子的体积＝101000＝0.01.所以取出的种子中，含有麦锈病种子的概率为0.01.易错疑难辨析在圆内作一条弦，其长度超过圆内接等边三角形边长a的概率是多少？(假定弦的中点在圆内均匀分布)[错解]如图1所示，设PQ为⊙O的直径，以P为顶点，作圆内接等边三角形，交PQ于M，以Q为顶点作圆内接等边三角形，交PQ于N，在PQ上任取一点H，过点H作弦AB⊥PQ，则点H必为AB的中点．显然，若AB的长度大于a，则点H必落在线段MN之间，易知线段MN的长度为PQ的12，故所求概率P＝12.[辨析]错在把等可能性理解为弦的中点H在直径PQ上均匀分布，没有弄清题意．[正解]如图2所示，弦的长度的确定关键在于弦的中点H的确定，由于要求弦长AB大于a，则OH应小于36a，同时又由于题目中已明确弦的中点在圆内是均匀分布的，所以点H应落在以O为圆心，半径为36a的圆内，这样区域D为整个大圆，区域d为小圆，故所求的概率为P＝π36a2π33a2＝14.[规律总结]计算几何概型问题的概率，就要先计算基本事件总体与事件A所包含的基本事件对应的区域的几何度量(如长度、面积、体积等)，这往往是分析与理解的困难所在．此外对几何概型问题中的等可能性的理解也特别重要．