解析几何大题训练题

解析几何大题训练1、如图，已知A（)0)(0,4aa，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足0BQAB，.31CQBC（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，)0,4(aA，求直线AE、AF的斜率之和。解（1）1(,),,(0,),33yQxyBCCQB设因为所以4(4,0),(4,),(,),33yyAaABaBQx又所以由已知240,40,9ABBQaxy则.9.922axyQaxy点轨迹方程为即（2）设过点A的直线为),(),,().0)(4(2211yxFyxEkaxky22221299360(0)36(4)(0)yaxkyayakkyyaykxak由…9分)4)(4(4444212121212211axaxayxyayxyaxyaxykkFAEA2221219,9axyaxy又，所以)4)(4(49492122121221axaxayayyayayykkFAEA)4)(4()49)((212121axaxaayyyy，由22136ayy,得FAEAkk=02.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，－1），B（0,1）平面内两点G、M同时满足①0GAGBGC,②||MA=||MB=||MC③GM∥AB（1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（2,0），已知PF∥FQ,RF∥FN且PF·RF=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.（1）设C(x,y)，2GAGBGO,由①知2GCGO,G为△ABC的重心，G(3x,3y)由②知M是△ABC的外心，M在x轴上由③知M（3x，0），由||||MCMA得222()1()33xxxy化简整理得：2213xy（x≠0）（2）F（2，0）恰为2213xy的右焦点设PQ的斜率为k≠0且k≠±22，则直线PQ的方程为y=k(x－2)由222222(2)(31)62630330ykxkxkxkxy设P(x1,y1)，Q(x2,y2)则x1+x2=226231kk,x1·x2=226331kk则|PQ|=21k·21212()4xxxx=21k·222226263()43131kkkk=2223(1)31kkRN⊥PQ,把k换成1k得|RN|=2223(1)3kkS=12|PQ|·|RN|=22226(1)(31)(3)kkk=228213()10kk)22183()102kkS221kk≥2，82S≥1632≤S2，(当k=±1时取等号)又当k不存在或k=0时S=2综上可得32≤S≤2Smax=2，Smin=323、已知直线l过椭圆E:2222xy的右焦点F，且与E相交于,PQ两点.①设1()2OROPOQ（O为原点），求点R的轨迹方程；②若直线l的倾斜角为060，求11||||PFQF的值.解：①设1122(,),(,),(,)PxyQxyRxy112211()(,)[(,)(,)]22OROPOQxyxyxy121222xxxyyy由22222212xxyy，易得右焦点(1,0)F’当直线lx轴时，直线l的方程是：1x，根据对称性可知(1,0)R当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)ykx代入E有2222(21)4220kxkxkoyxPQF2880k;2122421kxxk于是(,):Rxyx21222221xxkk;(1)ykx消去参数k得2220xyx而(1,0)R也适上式，故R的轨迹方程是2220xyx②设椭圆另一个焦点为'F，在'PFF中0'120,|'|2,PFFFF设||PFm，则|'|22PFm由余弦定理得2220(22)222cos120mmm2221m’同理，在'QFF，设||QFn，则|'|22QFm也由余弦定理得2220(22)222cos60nnn2221n’于是111122122122||||22PFQFmn4、给定抛物线C：y2=4x，过点A（－1，0）斜率为k的直线与C相交于M，N两点.（I）设线段MN的中点在直线x=3上，求k的值；（II）设],36,22[,kANAM求的取值范围.解（I）过点A（－1，0）斜率为k的直线为)1(xky，.1,24),,(),,((*),0)42(,4)1(212211221122222xxkkxxyxNyxMkxkxkxyxky则有设得代入方程将因为线段MN的中点在直线x=3上，所以,624,62221kkxx即所以，,22k（此时（*）式的判别式大于零）（II）由题设),1(),1(2211yxyxANAM得即2121),1(1yyxx由②得22122212122221,4,4,xxxyxyyy③①②由①、③得122,1,1,1)1(xxx所以由于，所以，24241222kkk，因为]6,4[241],36,22[2kk所以，注意到得即解,614,614,022233232223或，所以的取值范围是]223,32[]32,223[.5、已知O为原点,点P是直线x=-1上一动点,满足OFQP//,FPFM21,0FPQM(1)求Q点的轨迹方程(2)直线l的方程y=k(x–2)与Q点的轨迹交于两点A、B，设∠AFB=θ，试问θ角能否等于32？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．解：（1）设Q),(yx,由已知得Q点在FP的中垂线上,即||||QFQP,根据抛物线的定义知Q点的轨迹为抛物线.设xy42所以Q点的轨迹方程为xy42.(1)设l方程为y=k(x–2)与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，假定θ=23，则有cosθ=－12，如图，即|AF|2+|BF|2－|AB|22|AF|·|BF|=－12(*)由y2=4xy=kx+b得ky2－4y-8=0(k≠0)得y1y2=－8，x1x2=y12y2216=4．由定义得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1．从而有|AF|2+|BF|2－|AB|2=(x1+1)2+(x2+1)2－(x1－x2)2－(y1－y2)2=－2(x1+x2)－6，|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5将代入(*)得－2(x1+x2)－62(x1+x2)+10=－12，即x1+x2+1=0．这与x10且x20相矛盾！所以不能。6、双曲线)0,0(12222babyax的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为23，其中A（0，－b）,B（a,0）.OFxyPyFOxAB（I）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ中点.若点M在直线2x上的射影为N，满足,0QNPN且10||PQ，求直线l.的方程？解：（I）依题意有：.,23,222222cbabaabac解得：.2,3,1cba所以，所求双曲线的方程为.1322yx（II）（法1）当直线xl轴时，6||PQ，不合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为)2(xky..0344)3(,)2()0(13222222kxkxkxkyxyx得由①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以.032k设21002211,),,(),,(),,(xxyxMyxQyxP则是方程①的两个正根，于是有.30)34)(3(4)4(,0334,0342222222212221kkkkkkxxkkxx所以②因为,10||,,,0PQPQMQNPNQNPN的中点为又则所以|PM|=|MN|=|MQ|=21|PQ|=5.又|MN|=x0+2=5，即x0=3，而3,9,3322222210kkkkxxx解得.满足3k②式，3k符合题意.所以直线l的方程为：3y（x－2）..316||,)3()1(363)34(4)34(4)()(|,|1||,334,34:1)(2221222222222122122121222212221kkxxkkkkkkxxxxxxxxkPQkkxxkkxx则又得由法方法二又3:,103)1(6,10||22kkkPQ解得.显然k=±3满足②式.,0,3,.049041025490)2105)(2105(),1023,2105(),1023,2105().3,2(),3,3(),10233,2103(),21033,2103(,)2(313,322QNPNkQNPNQNPNNMQPxyyxk时当同理可知所以因为得由时当所以所求直线的方程为)2(3xy.7、设xxxfyxByxA1log21)(),(),,(22211是函数的图象上任意两点，且)(21OBOAOM，已知点M的横坐标为21（I）求证：M点的纵坐标为定值；（Ⅱ）若11,2,),(ninnSnNnnifS求且其中；（Ⅲ）已知nnnnTNnnSSna.,2)1)(1(11,321其中为数列}{na的前n项和，若NnSTnn对一切)1(1都成立，试求的取值范围.（Ⅰ）证明：),(21OBOAOMM是AB的中点，设M点的坐标为（x，y）（Ⅱ))(21,1,1,1,21)(212112212121yyyxxxxxxxxx而或则得由,21)01(21)log1(21)11log1(21)1log1log1(21)1log211log21(21))()((21122122211222211222211221xxxxxxxxxxxxxxxxxfxf∴M点的纵坐标为定值21。（II）解：由（I）知,1)()(,1212121yyxfxfxx)]1()1([)]2()2([)]1()1([2:),1()2()1(),1()2()1(nfnnfnnfnfnnfnfSnfnnfnnfSnnfnfnfSnnn相加得个1111n),2(21NnnnSn.（III）),2111(4)2)(1(4)1)(1(1,21nnnnSSannnn时当nnaaaaT321)2131(432)]2111()5141()4131[(432nnn22nn.21444444,,2,44.444444)2(4,2222),1(221nnnnnnnnnnnnnnnSTnn成立时当且仅当得由因此),21(,21的取值范围是即8、已知F（0，a）（a＞0），点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且0·PFPM，0PMPN.（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）由直线y=-