分析法与综合法论文

分析法与综合法在高中几何证明题的应用王林超邮编257100【内容摘要】推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，本文主要通过分析证明题中经常出现的分析法与综合法来帮助高中生解决几何证明题。分析法与综合法属于直接证明，在数学中，分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，而综合法则是从原因推导到由原因产生的结果的思维方法。【关键词】分析法；综合法；几何；证明1.分析法与综合法在科学史、哲学史上很早就提出了分析与综合的问题，两千多年前的《几何原本》用演绎推理的方式来表现思维进程，书中就已经出现了综合法与分析法这两种基本的演绎证明方法。所谓综合法，从方法论的角度讲，即从事物各部分、方面、因素、层次的特点、属性出发，寻找它们之间的内在联系，然后加以概括与上升（即综合），从而在整体上把握事物的本质与规律的一种思维方法。所谓分析法，从方法论的角度讲，就是把研究对象分解为它的各个组成部分、方面、因素、层次，然后分别加以研究，从而认识事物的基础或本质的一种思维方法。中学数学解题中的综合法是一种“由因导果”的逻辑推理方法，而分析法则是一种“执果索因”的逻辑推理方法。2.分析法与综合法在高中解题的体现数学证明是引用一些真实的命题来确定某一命题正确性的一种思维方式，而数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。从结构形式来看，证明由论题、论证、论据三部分构成。证明的过程是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式推出论题的过程。数学证明的关键在于构建从已知到求证的命题逻辑链，找出构建途径，打通推理要道。要证明某个命题成立，有两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。现在，我们主要研究的是直接证明中的分析法与综合法。2.1分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理ABCDA1B1C1D1O等）这种证明的方法叫做分析法。例1（10年全国高考数学理科卷1)正方体1111DCBAABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为A23B33C23D63答案：D分析法思考：要求1BB与平面1ACD所成角的余弦值，则要找到1BB与平面1ACD所成的角，即要找到1DD与平面1ACD所成的角，设1ACDDO平面，则ODD1为索要找的角，此时只须求出sin的值即可得到cos，而求sin只需求1DDDO的值，1DDDO与分别看作三棱锥1ACDD与三棱锥ACDD1的高，故求1DDDO与可利用体积相等来求，从而得到本道题答案为D。综上可见，分析法执果索因，四位目标明确，常常根底渐进，有利于构思推理程序。2.2综合法综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题的证明方法。简单地说，综合法则是从原因推导到由原因产生的结果的思维方法。其特点和思路是“由因导果”。例2（09年全国高考数学文科卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面11BCCB。证明：AB=ACw.w.w.k.s.5.u.c.o.m综合法分析：取BC中点F，连接EF，则EF//121BB，从而DAEF//。连接AF，则ADEF为平行四边形，ACBA1B1C1DE从而AF//DE，又DE⊥平面11BCCB，故AF⊥平面11BCCB，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。综上可见，综合法由因导果，形式简单，条理清晰、严谨，有利于推理过程的简明表达。2.3分析综合法对于前面所说的分析法与综合法虽然都能解决问题，但对于一些比较复杂的证明题，单靠分析法或综合法显得较为困难。在我们平时做题中我们可以发现，事实上我们在做题时一般都不会单一地使用分析法或综合法，而是采用由题设到题断和由题断到题设的“双向”思考，即同时使用综合法和分析法的思考方式进行探索，这样的思考方式，俗称“两头凑”。例3（11年全国高考数学理科卷2)如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1，证明：SD平面SAB证明：由分析法思路，要证SD平面SAB，只须证SD与平面SAB中两条相交的直线都垂直（*）由综合法思路，取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则3,SEABSE，又SD=1，故222SDSEED，所以DSE为直角，由ESEDESEABDEAB,,得SDBAB平面，所以SDAB即SD与两条相交直线AB、SE都垂直，即（*）成立所以SD平面SAB.综上可见，分析综合法，从两个方向思考寻找证题桥梁，可以比较容易找到证题途径，有利于培养数学素养。3.给高中生在做几何证明题时的建议通过上文的分析，我们很清楚地看到，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，实际上是要寻找它的充分条件。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向未知，实际上是寻找它的必要条件。从解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐进，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不易奏效。但从表达形式来看，分析法叙述繁琐，综合法形式简单，条理清晰。故分析法有利于思考，综合法有利于表达，我们在实际解题时，应该把分析法与综合法结合起来运用，先用分析法来思考，然后用综合法来表述解题过程。此外，还可以使用分析综合法：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明原命题成立。【参考文献】[1]叶立军.初等数学研究.上海：华东师范大学出版社,2008.[2]汤服成.中学数学解题思想方法.广西：广西师范大学出版社,2005.[3]数学课程标准研制组.数学课程标准（实验）解读.江苏：江苏教育出版社,2005.[4]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2.北京：人民教育出版社,2007.