2005数学建模a题优秀论文

1长江水质的评价和预测摘要：本文利用层次分析法建立了定量评价长江两年多的水质层次分析模型。即给出长江上17个站点的水源污染排名，文中通过对长江上17个站点28个月的污染权重系数取值，得到了评价17个站点程度的综合权向量和17个站点的污染程度排名表如下：并通过层次分析法对17个地区的各污染项目进行了排序，得出长江各地区水质污染状况：四川乐山岷江大桥、江西南昌滁槎、四川泸州沱江二桥、湖南长沙新港有DO污染；四川乐山岷江大桥、湖南岳阳岳阳楼、湖南岳阳城陵矶、江西九江蛤蟆石有CODMn污染；江西南昌滁槎、湖南长沙新港、四川乐山岷江大桥、四川泸州沱江二桥有NH3-N污染。在考虑污染物CODMn和NH3-N的主要污染源时，我们引入了CODMn的流量、NH3-N的流量以及CODMn和NH3-N在上一站点的剩余流量，并计算得到了长江干流上7个站点的CODMn和NH3-N的各自排放量。从而得到了CODMn和NH3-N的主要污染源为湖南岳阳、湖北宜昌、重庆朱沱这三个地区。同时，通过指数函数和线性函数拟合得到了过去10年的统计数据的函数图形与未来10年的预测值应用该预测值可计算得到每年需处理的污水量。关键词：层次分析模型，判断矩阵，综合权向量排名123456789城市名江西南昌滁槎四川乐山岷江大桥湖南长沙新港四川泸州沱江二桥湖南岳阳岳阳楼湖南岳阳城陵矶江西九江蛤蟆石湖北武汉宗关江苏扬州三江营排名1011121314151617城市名湖北宜昌南津关安徽安庆皖河口四川宜宾凉姜沟重庆朱沱江西九江河西水厂四川攀枝花龙洞江苏南京林山湖北丹江口胡家岭2一、问题的分析与重述水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。二、符号说明it—水从i观测点流到j观测点所用的时间。id—干流上的两个观测点i与j间距离。iv—干流上的i观测点的水流速度。3iv—干流上两个观测点i与j间的平均水流速度，21_iiivvv。im—各地区相应的CODMn的指标。in—各地区相应的NNH3的指标。il—干流上各观测点的水流量。ia—1秒内各地区水流总量CODMn的含量。ib—1秒内各地区水流总量NNH3的含量。if—降解后1秒内各地区水流总量中CODMn的剩余量。ig—降解后1秒内各地区水流总量中NNH3的剩余量。K—降解系数。---各站点地区排放CODMn流量向量。---各站点地区排放NH3-N流量向量。三、模型假设1.题目所给的数据都是真实可信的。2.干流以四川攀枝花为源头。3.长江干流的自然净化能力是均匀的。4.高锰酸盐和氨氮的降解系数都为0.3（单位：1/天）。5.观测点的水质污染主要来自本地区的排污和上游排下的污水。四、模型的建立及求解4.11对问题(1)的处理对于长江近两年的水质的定量综合评价，可以通过层次分析法来建立数学模型，即给出近两年多来长江水质在各观察站地区的综合排名，这是层次分析模型的目标层，准则层为影响水质的4个因素：PH值、DO（溶解氧指数）、CODMn（高锰酸盐指数）、NH3-N（氨氮指数）。该模型的方案层为：17个观察站的水质污染情况。于是我们可得下面的层次结构模型：4建立层次分析模型后，我们就可以在各层元素中两两进行比较，构造出比较判断矩阵。首先，考虑准则层的各因素对目标层的影响的情形。用4321,,,CCCC分别表示下面4个因素：PH值，DO指数，CODMn指数，NH3-N指数。17321,...,,,pppp表示四川攀枝花,…,等17个观察站。由于PH值、DO指数，CODMn指数、NH3-N指数对水质污染是同等重要的，设jiCC与对目标层的影响之比为ija(1ija)，则准则层对目标层的判断矩阵：A=44ija，ijjiaa1.即A=1111111111111111另外，在某些地区这4个因素对该地区的水质污染程度各有不同，因此，我们也可以在模型中提高某些因素的权重，在分析各地区水质的污染状况时，我们就运用了这一方法。有了判断矩阵A，我们可以通过相应的方法来求出该矩阵的特征值和特征向量(即权向量)1。本文中,我们用和法来处理，通过计算可得A的权向量为：Tw414141412.下面考虑方案层对准则层每个因素jC的影响权重。由于DO（溶解氧）的指标越大，水质的污染程度越轻，而其它三个指标则恰好相反，指标越小，污染程度越轻。因此为了能统一处理数据，我们考虑对DO的指标做变换，用x表示DO的原指标，则经过变换xxym(某一常数mx)。变换后的新指标y越大，则水质污染越严重，否则水质污染越5轻。对于mx的取值，我们观察了17个站点28个月DO指标数据，发现其最大的数值为14.7，因此我们本文的数据处理中取15mx来进行计算。当然，mx的值也不能取得过大，否则方案层对DO因素的每个权系数就会非常接近。通过上面对DO指标做变换xxym后，DO的新指标数值和其他三个因素的指标数值都是介于0.02到15之间，因此我们在构造第3层的因素对第2层每一个因素kC的判断矩阵时，只要利用观察站点ip因素kC的指标kix与站点jp因素kC的指标kjx的比值即可。于是可得下面4个判断矩阵：1717)(kijkbB，)()()(kjkikijxxb，k=1,2,3,4,i,j=1,2,…,17.即1717)1(2)1(17)1(1)1(17)1(17)1(2)1(1)1(2)1(17)1(1)1(2)1(11111xxxxxxxxxxxxB，1717)2(2)2(17)2(1)2(17)2(17)2(2)1(1)2(2)2(17)2(1)2(2)2(12111xxxxxxxxxxxxB，1717)3(2)3(17)3(1)3(17)3(17)3(2)3(1)3(2)3(17)3(1)3(2)3(13111xxxxxxxxxxxxB，1717)4(2)4(17)4(1)4(17)4(17)4(2)4(1)4(2)4(17)4(1)4(2)4(14111xxxxxxxxxxxxB。通过前面提到过的求判断矩阵的权向量的和法以及2004年4月的各指标数据kix，可得上面4个判断矩阵的权向量分别为：Tw]0.05660.05650.05150.06210.06000.05760.06700.05920.06220.05950.06040.05840.05700.05880.05490.05920.0590[)3(1,T)3(20.0571]0.05740.06930.06050.06170.06030.03390.07750.05200.07620.05710.05970.06220.06020.05070.04650.0579[w,Tw]0.03420.05770.02350.05130.02990.09190.03850.07690.05130.12390.06620.06840.03630.06200.12390.05980.0043[)3(3,6T)3(40.0237]0.02370.14560.02690.03320.15660.01580.16770.03960.08390.01740.03480.02060.05380.08700.05380.0158[w。以)3(kw为列向量构成矩阵],,,[)3(4)3(3)3(2)3(1)3(。因此，第3层对第1层的组合权向量为：)2()3((1)即Tw]0.04290.04880.07250.05020.04620.09160.03880.09530.05130.08590.05030.05530.04400.05870.07910.05480.0342[。4.12判断矩阵的一致性检验111111111111111144ijaA，11jiijaa，于是ijkjikaaa，所以A是一致性矩阵。而1717)(kijkbB，)()()(kjkikijxxb。)()()()()()()()()(kijkjkikjknknkiknjkinbxxxxxxbb，所以kB也是一致性矩阵。4.13水质的综合评价通过上面的层次分析模型，我们对17个站点在2004年4月的数据进行处理，得到了这些站点在该月的权重系数，其中的数值越小表明该站点所在地区的污染较轻，数值越大，则污染越严重。于是我们按权向量的元素大小进行排序，可得各站点污染程度大小的排序，进而我们再对另外27个月的数据进行处理，可得每个月的排序权向量。把这些权向量写成矩阵的形式，于是得到一个28×17的矩阵1728ija其每一行表示17个站点在某个月的污染权重系数。我们可以求出每一列的平均值作为每个站点的污染综合权重系数，于是得到一个1×17的综合权向量w，]0.05270.05450.12960.05300.06180.06820.03940.06540.04990.08410.04370.05020.04590.05770.05140.04770.0447[_w。该综合权向量w即为长江17个站点所在地区水质的综合评价。权向量w中的元素数值越大，则表示该地区水质污染越严重。即长江17个站点所在地区水质的综合排名如下表：7表1、长江17个站点所在地区水质的综合排名表排名123456789权系数0.12960.08410.06820.06540.06180.05770.05450.05300.0527城市名江西南昌滁槎四川乐山岷江大桥湖南长沙新港四川泸州沱江二桥湖南岳阳岳阳楼湖南岳阳城陵矶江西九江