有限元分析半开卷资料

有限元分析半开卷资料基本概念：位移a=[𝑢1𝑣1𝑢2𝑣2…𝑢𝑛𝑣𝑛]𝑇；等效结点荷载R=[𝑅1𝑥𝑅1𝑦𝑅2𝑥𝑅2𝑦…𝑅𝑛𝑥𝑅𝑛𝑦]𝑇u={𝑢𝑣}=𝑁𝑎𝑒;𝐹𝑒=𝑘𝑎𝑒;𝘀=[𝘀𝑥𝘀𝑦𝛾𝑥𝑦]𝑇=𝐿𝑢=𝐿𝑁𝑎𝑒=𝐵𝑎𝑒;𝜎=[𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦]𝑇=𝐷𝘀=𝐷𝐵𝑎𝑒=𝑆𝑎𝑒第二章平面弹性力学问题1.位移模式与收敛性条件三角形单元的位移模式：u=𝑁𝑖𝑢𝑖+𝑁𝑗𝑢𝑗+𝑁𝑚𝑢𝑚v=𝑁𝑖𝑣𝑖+𝑁𝑗𝑣𝑗+𝑁𝑚𝑣𝑚式中𝑁𝑖=𝑎𝑖+𝑏𝑖𝑥+𝑐𝑖𝑦2𝐴(𝑖,𝑗,𝑚)；𝑎𝑖=𝑥𝑗𝑦𝑚−𝑥𝑚𝑦𝑗;𝑏𝑖=𝑦𝑗−𝑦𝑚;𝑐𝑖=−(𝑥𝑗−𝑥𝑚),A为单元面积A=12|1𝑥𝑖𝑦𝑖1𝑥𝑗𝑦𝑗1𝑥𝑚𝑦𝑚|(为了使面积A不成为负值，规定结点I,j,m的次序按逆时针转向)矩形单元的位移模式：u=𝑁𝑖𝑢𝑖+𝑁𝑗𝑢𝑗+𝑁𝑚𝑢𝑚+𝑁𝑝𝑢𝑝v=𝑁𝑖𝑣𝑖+𝑁𝑗𝑣𝑗+𝑁𝑚𝑣𝑚+𝑁𝑝𝑣𝑝式中𝑁𝑖=14(1+𝜉𝑖𝑥𝑎)(1+𝜂𝑖𝑦𝑏);𝜉𝑖=𝑥𝑖|𝑥𝑖|;𝜂𝑖=𝑦𝑖|𝑦𝑖|(𝑖,𝑗,𝑚,𝑝)位移模式需满足的条件：a．位移模式必须能反映单元的刚体位移（与本单元的变形无关的位移）b.位移模式必须能反映单元的常量应变（与位置坐标无关的应变）c.位移模式应当尽可能反映位移的连续性（相邻单元之间位移的连续性和单元内部位移也是连续的）以三角形单元为例说明，𝑎1,𝑎4,𝑎5−𝑎32反映了刚体移动和刚体转动，𝑎2,𝑎6,𝑎3+𝑎5反映常量应变2.形函数及其性质形函数：即插值基函数，反应单元的位移形态，因而也称为位移的形态函数，简称形函数(𝑁𝑖𝑁𝑗𝑁𝑚)形函数的性质：（2）在节点i上𝑁𝑖=1，在其他节点上𝑁𝑖=0，该性质可导出形函数在三角形单元上的积分和在某边界上的积分为∬𝑁𝑖𝛺𝑒𝑑𝑥𝑑𝑦=13𝐴,∫𝑁𝑖𝑖𝑗𝑑𝑠=12𝑙𝑖𝑗∬𝛺𝑒表示对单元积分，∫𝑖𝑗表示对单元的ij边线积分（3）在单元中，任意点形函数之和等于1（4）形函数的值在0-1间变化3.面积坐标及三角形高次形函数的构造面积坐标：三角形单元中，任一点P(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置可以用三个比值来确定，即面积坐标。面积坐标只限于用在一个三角形单元内，因而是一种局部坐标。在平行于jm边的一根直线上的所有点，都具有相同的Li坐标，而且这个坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“结点i至jm边的距离”的比值用直角坐标表示面积坐标的关系式：𝐿𝑖=(𝑎𝑖+𝑏𝑖𝑥+𝑐𝑖𝑦)2𝐴式中𝑎𝑖=𝑥𝑗𝑦𝑚−𝑥𝑚𝑦𝑗,𝑏𝑖=𝑦𝑗−𝑦𝑚,𝑐𝑖=−𝑥𝑗+𝑥𝑚用面积坐标表示直角坐标的关系式：x=𝑥𝑖𝐿𝑖+𝑥𝑗𝐿𝑗+𝑥𝑚𝐿𝑚y=𝑦𝑖𝐿𝑖+𝑦𝑗𝐿𝑗+𝑦𝑚𝐿𝑚六结点三角形单元的位移模式：u=𝑁𝑖𝑢𝑖+𝑁𝑗𝑢𝑗+𝑁𝑚𝑢𝑚+𝑁1𝑢1+𝑁2𝑢2+𝑁3𝑢3v=𝑁𝑖𝑣𝑖+𝑁𝑗𝑣𝑗+𝑁𝑚𝑣𝑚+𝑁1𝑣1+𝑁2𝑣2+𝑁3𝑣3𝑁𝑖=𝐿𝑖(2𝐿𝑖−1)(𝑖,𝑗,𝑚),𝑁1=4𝐿𝑗𝐿𝑚(1,2,3)4.有限元支配方程的推导（结构力学法/变分原理）根据平衡条件，各环绕单元对该结点作用的结点力之和应等于由各环绕单元移置而来的结点荷载之和，即∑𝐹𝑖𝑒=∑𝑅𝑖𝑒，再将结点力公式代入，变可得有限元的支配方程Ka=R,式中K为整体刚度矩阵，a为整体结点位移列阵，R为整体结点荷载列阵变分原理导出有限元支配方程证明：用最小势能原理推导出有限元的求解方程∏=12∫𝘀𝑇𝐷𝘀𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦−∫𝑢𝑇𝑓𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦−∫𝑢𝑇𝑓̅𝑑𝑠𝑆𝜎𝛺𝛺式中，t是平面弹性体的厚度，f是体积力，𝑓̅是物体表面的面力离散成有限网格，其中ε=B𝑎𝑒,𝑢=𝑁𝑎𝑒代入上式可得∏=12∑(𝑎𝑒)𝑇∫𝐵𝑇𝐷𝐵𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦𝑎𝑒−∑(𝑎𝑒)𝑇𝑒𝛺𝑒𝑒∫𝑁𝑇𝑓𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦𝛺𝑒−∑(𝑎𝑒)𝑇∫𝑁𝑇𝑓̅𝑡𝑑𝑠𝑠𝑒𝑒利用𝑎𝑒=𝐶𝑒𝑎,则∏=12𝑎𝑇𝐾𝑎−𝑎𝑇𝑅,其中K=∑𝐶𝑒𝑇𝑘𝐶𝑒𝑒;𝑅=∑𝐶𝑒𝑇𝑅𝑒𝑒;𝑘=∫𝐵𝑇𝐷𝐵𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦𝛺𝑒;𝑅𝑒=∫𝑁𝑇𝑓𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦𝛺𝑒+∫𝑁𝑇𝑓̅𝑡𝑑𝑠𝑠𝑒根据最小势能原理δ∏=0，即𝜕П𝜕𝑎=0,这样就得到有限元的求解方程Ka=R虚功原理建立有限元的支配方程假设单元发生了虚位移，其相应虚位移为δu=[𝛿𝑢𝛿𝑣]𝑇而该单元上各结点的相应虚位移为δ𝑎𝑒=[𝛿𝑢𝑖𝛿𝑣𝑖𝛿𝑢𝑗𝛿𝑣𝑗𝛿𝑢𝑚𝛿𝑣𝑚]𝑇按照静力等效原理，即结点荷载与原荷载在上述虚位移上的虚功相等，有(δ𝑎𝑒)𝑇𝑅𝑒=𝛿𝑢𝑇𝑃将δu=Nδ𝑎𝑒代入，得(δ𝑎𝑒)𝑇𝑅𝑒=（δ𝑎𝑒）𝑇𝑁𝑇𝑃由于虚位移是任意的，得𝑅𝑒=𝑁𝑇𝑃5.荷载列阵：单元到整体体力引起的等效结点荷载：𝑅𝑒=∫∫𝑁𝑇𝑓𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦𝑎−𝑎𝑏−𝑏面力引起的等效结点荷载：𝑅𝑒=∫𝑁𝑇𝑓𝑡𝑑𝑦𝑏−𝑏常见分布荷载产生的等效结点荷载1.单元自重𝑅𝑒=−13𝜌𝑔𝑡𝐴⌊010101⌋T2.在ij边界上受x方向均布力q作用，边界长度为l，𝑅𝑒=12𝑞𝑙𝑡⌊101000⌋T3.在ij边界上受三角形分布荷载作用，边界长度为l，𝑅𝑒=12𝑞𝑙⌊23013000⌋T整体结点荷载列阵：确定每个单元的结点荷载列阵，然后根据各个单元的结点局部编码与整体编码的对应关系，将单元的结点荷载列阵中每个子矩阵叠加到R的相应位置上。6.刚度矩阵：单元到整体单元刚度矩阵（平面应变问题）k=∫∫𝐵𝑇𝐷𝐵𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦𝑎−𝑎𝑏−𝑏线性位移模式下，有k=𝐵𝑇𝐷𝐵𝑡=[𝑘𝑖𝑖𝑘𝑖𝑗𝑘𝑖𝑚𝑘𝑗𝑖𝑘𝑗𝑗𝑘𝑗𝑚𝑘𝑚𝑖𝑘𝑚𝑗𝑘𝑚𝑚]𝐹𝑒={𝑈𝑖𝑉𝑖𝑈𝑗𝑉𝑗𝑈𝑚𝑉𝑚}={𝑘𝑖𝑖𝑥𝑥𝑘𝑖𝑖𝑥𝑦𝑘𝑖𝑖𝑦𝑥𝑘𝑖𝑖𝑦𝑦}{𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑚𝑣𝑚}𝑘𝑖𝑗表示j结点对i结点的刚度贡献𝑘𝑖𝑖𝑥𝑥+𝑘𝑗𝑖𝑥𝑥+𝑘𝑚𝑖𝑥𝑥=0;𝑘𝑖𝑖𝑦𝑥+𝑘𝑗𝑖𝑦𝑥+𝑘𝑚𝑖𝑦𝑥=0单元刚度矩阵的力学意义：单元刚度矩阵中任一个元素（如𝑘𝑖𝑗𝑦𝑥）表示当j结点x方向发生单位位移时，在i结点y方向产生的结点力单元刚度矩阵的性质：对称性，奇异性，主元素恒正，单元均匀放大或缩小不会改变刚度矩阵的数值，单元水平或竖向移动不会改变刚度矩阵的数值平面应力问题𝑘𝑟𝑠=𝐸𝑡4(1−𝑣2)𝐴[𝑏𝑟𝑏𝑠+1−𝑣2𝐶𝑟𝐶𝑠𝑣𝑏𝑟𝑏𝑠+1−𝑣2𝐶𝑟𝐶𝑠𝑣𝐶𝑟𝐶𝑠+1−𝑣2𝑏𝑟𝑏𝑠𝐶𝑟𝐶𝑠+1+𝑣2𝑏𝑟𝑏𝑠](r=I,j,ms=I,j,m)平面应变问题𝑘𝑟𝑠=𝐸(1−𝑣)𝑡4(1++𝑣)(1−2𝑣)𝐴[𝑏𝑟𝑏𝑠+1−2𝑣2(1−𝑣)𝑐𝑟𝑐𝑠𝑣1−𝑣𝑏𝑟𝑐𝑠+1−2𝑣2(1−𝑣)𝑐𝑟𝑏𝑠𝑣1−𝑣𝑐𝑟𝑏𝑠+1−2𝑣2(1−𝑣)𝑏𝑟𝑐𝑠𝑐𝑟𝑐𝑠+1−2𝑣2(1−𝑣)𝑏𝑟𝑏𝑠]整体单元建立步骤：将K全部充零，逐个单元地建立单元的刚度矩阵，然后根据单元结点的局部编码与整体编码的关系，将单元的刚度矩阵中每一个子矩阵叠加到K中的相应位置上。对所有的单元全部完成上述叠加步骤，就形成了整体刚度矩阵。7.简单问题的有限元具体计算（利用已算好的刚度矩阵）8.计算结果的整理与分析计算成果主要包括两个方面：即位方面和应力方面。主要进行对应力方面的计算成果讨论。把计算出来的常量应力作为单元形心处的应力，拉应力用箭头表示，压应力用平头表示。由计算成果推出结构物内某一点的接近实际的应力，必须通过某种平均计算，通常可采用绕结点平均法或二单元平均法。绕结点平均法：把环绕某一结点的各单元中的常量应力加以平均，用来表征该结点处的应力。（在内结点处具有较好的表征性，但在边界结点处表征性较差，因此边界结点处的应力宜用内结点应力插值推算）二单元平均法：把两个相邻单元中的常量应力加以平均用来表征公共边中点处的应力。PS：只容许对厚度及弹性常数都相同的单元进行平均计算9.网格划分的注意事项a.应根据所需精度，在合理的计算时间内来决定单元的大小b.为了便于整理和分析应力成果，往往采用直角三角形的单元c.应合理利用结构的对称性，减少计算量d.为了使地基弹性对结构物中应力的影响能反映出来，必须把和结构物相连的那一部分地基也取为弹性体，和结构物一起作为计算对象e.可进行二次计算在以下情况下应将单元尺寸减小：a.计算对象的厚度或其弹性有突变之处，且应吧突变线作为单元的界线，b.计算对象受季度突变的分布荷载或受集中荷载c.结构物具有凹槽或孔洞第三章平面等参有限元1.等参单元的概念将位移模式与坐标变换式具有相同的形式，即形函数相同，参数个数相同的单元称为等参单元。2.单元形函数的构造方法整体坐标系为（x,y），在每个单元上建立局部坐标系(ξ,η),只需雅克比行列式大于0即可保证坐标一一对应的实现。⌈𝐽⌉=⌊𝜕𝑥𝜕ξ𝜕𝑦𝜕ξ𝜕𝑥𝜕η𝜕𝑦𝜕η⌋0坐标转换式：x=𝑁1𝑥1+𝑁2𝑥2+𝑁3𝑥3+𝑁4𝑥4y=𝑁1𝑦+𝑁2𝑦2+𝑁3𝑦3+𝑁4𝑦4𝑁𝑖=14(1+ξ𝑖ξ)(1+η𝑖η)3.位移模式及收敛性要求单元位移模式：u=𝑁1𝑢1+𝑁2𝑢2+𝑁3𝑢3+𝑁4𝑢4v=𝑁1𝑣1+𝑁2𝑣2+𝑁3𝑣3+𝑁4𝑣4收敛性要求：完备性和连续性以4结点四边形等参单元为例说明完备性，∑𝑁𝑖=14𝑖=1，∑𝑁𝑖𝑥𝑖=𝑥4𝑖=1，∑𝑁𝑖𝑦𝑖=𝑦4𝑖=1∑𝑁𝑖=14(1−4𝑖=1ξ)(1−η)+14(1+ξ)(1−η)+14(1+ξ)(1+η)+14(1−ξ)(1+η)=12(1−η)+12(1+η)=1对于具有m各结点的等参单元，为了位移模式满足完备性要求，形函数必须满足∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖=1连续性：只需考察任意两单元交界面上位移是否连续即可。为了保证整体坐标与局部坐标的一一对应关系，单元不能歪斜，单元的各边长不能等于0。4.单元刚度矩阵和荷载列阵的计算𝐵𝑖=[𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥00𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥];𝑆𝑖=𝐸1−𝑣2[𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥𝑣𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦𝑣𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦1−𝑣2𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦1−𝑣2𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥]需根据复合函数的求导法则来求出各形函数对整体坐标的导数𝜕𝑁𝑖𝜕𝜉=𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝜉+𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝜉;𝜕𝑁𝑖𝜕𝜂=𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝜂+𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝜂即可解得𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥和𝜕�