高考数学(理)一轮复习学案：§2.1-函数及其表示+(新课标含解析)

1§2.1函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的．2．函数的表示方法(1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：，，.(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5．映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的元素x，在集合B中都有元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．6．映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_________．(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数．集．．7．复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．自查自纠1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2．(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5．任意一个唯一确定的6．(1)映射(2014·山东)函数f(x)＝1（log2x）2－1的定义域为()A.0，12B．(2，＋∞)C.0，12∪(2，＋∞)D.0，12∪[2，＋∞)解：(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜12，故所求的定义域是0，12∪(2，＋∞)．故选C.(2015·全国新课标Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12解：由条件得f(－2)＝1＋log24＝3，因为log2121，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.下列各图表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正确的是()A．都表示映射，都表示y是x的函数B．仅③表示y是x的函数C．仅④表示y是x的函数D．都不能表示y是x的函数解：根据映射的定义，①②③中，x与y的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.(2015·甘肃模拟)已知f(x)＝2x，x＞0，f（x＋1），x≤0，则f－43＝________.解：由题意知f－43＝f－43＋1＝f－13＝f－13＋1＝f23＝2×23＝43.故填43.(2014·新课标Ⅰ)设函数f(x)＝ex－1，x＜1，x13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．解：由题设知f(x)≤2可转化为x＜1，ex－1≤2或x≥1，x13≤2，解得x≤8.故填(－∞，8]．类型一函数和映射的定义下列对应是集合P上的函数的是________．①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；③P＝{三角形}，Q＝{x|x0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．解：由于①中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，而③中集合P不是数集，所以①和③都不是集合P上的函数．由题意知，②正确．故填②.【点拨】函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y与之对应；③集合P，Q是否为非空数集．(2013·南昌模拟)给出下列四个对应：①A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝1x＋1；②A＝a|12a∈N*，B＝b|b＝1n，n∈N*，对应关系f：a→b，b＝1a；③A＝{x|x≥0}，B＝R，对应关系f：x→y，y2＝x；④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A到B的映射的为________．解：对于①，当x＝－1时，y值不存在，所以①不是从A到B的映射；对于②，A，B两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B＝1，12，13，14，…，由对应关系f：a→b，b＝1a知，②是从A到B的映射；③不是从A到B的映射，如A中元素1对应B中两个元素±1；④是从A到B的映射．故填②④.类型二判断两个函数是否相等已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数中与f(x)相等的函数是()A．g(x)＝|x2－1||x＋1|B．g(x)＝|x2－1||x＋1|，x≠－1，2，x＝－1C．g(x)＝x－1，x＞0，1－x，x≤0D．g(x)＝x－1解：∵g(x)＝|x2－1||x＋1|＝|x－1|，x≠－1，2，x＝－1与f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选B.【点拨】两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是()A．f(x)＝x2，g(x)＝3x3B．f(x)＝|x|x，g(x)＝1，x≥0，－1，x＜0C．f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝(2n－1x)2n－1，n∈N*D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x（x＋1）解：对于A，f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以不是同一函数；对于C，当n∈N*时，2n±1为奇数，则f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D，f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.类型三求函数的定义域(1)(2015·山东模拟)函数y＝log0.5（4x－3）的定义域为()A.34，＋∞B．(－∞，1)C.34，1D.34，1解：要使函数有意义，x应满足4x－3＞0，log0.5（4x－3）≥0，解得34＜x≤1，所以函数的定义域为34，1.故选D.(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，则函数y＝f(x2－3)的定义域为________．解：由题意知x2－3≥－1，x2－3＜1，解得x≤－2或x≥2，－2＜x＜2.∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)．故填(－2，－2]∪[2，2)．【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．(1)(2015·安徽省黄山市检测)函数y＝log2（x－1）2－x的定义域为________．(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2x)的定义域为________．解：(1)要使函数有意义，x应满足x－1＞0，2－x＞0，解得1＜x＜2，所以函数的定义域为(1，2)．故填(1，2)．(2)令1≤2x≤7，得0≤x≤log27，故所求函数的定义域为[0，log27]．故填[0，log27]．类型四求函数的值域求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝2x＋1－x；(3)y＝2x＋1－x2；(4)y＝x2－2x＋5x－1；(5)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域；(6)f(x)＝||2x＋1－||x－4.解：(1)解法一：(反解)由y＝1－x21＋x2，解得x2＝1－y1＋y，∵x2≥0，∴1－y1＋y≥0，解得－1＜y≤1，∴函数值域为(－1，1]．解法二：(分离常数法)∵y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，又∵1＋x2≥1，∴0＜21＋x2≤2，∴－1＜－1＋2x2＋1≤1，∴函数的值域为(－1，1]．(2)(代数换元法)令t＝1－x(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2t－142＋178.∵t≥0，∴y≤178，故函数的值域为－∞，178.(3)(三角换元法)令x＝cost(0≤t≤π)，∴y＝2cost＋sint＝5sin(t＋φ)其中cosφ＝15，sinφ＝25.∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ，∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.故函数的值域为[－2，5]．(4)解法一：(不等式法)∵y＝x2－2x＋5x－1＝（x－1）2＋4x－1＝(x－1)＋4x－1，又∵x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，∴当x1时，y＝(x－1)＋4x－1≥24＝4，且当x＝3，等号成立；当x1时，y＝－－（x－1）＋4－（x－1）≤－4，且当x＝－1，等号成立．∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．解法二：(判别式法)∵y＝x2－2x＋5x－1，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∴方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根．∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0，解得y≤－4或y≥4.当y＝－4时，x＝－1；y＝4时，x＝3.故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(5)(单调性法)∵3x2＋2y2＝6x，∴2y2＝6x－3x2≥0，解得0≤x≤2.z＝x2＋y2＝x2＋3x－32x2＝－12x2＋3x＝－12(x－3)2＋92.∵对称轴为x＝3＞2，即z在x∈[0，2]上单调递增．∴当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，z有最大值4，故所求函数的值域为[0，4]．(6)(图象法)f(x)＝－x－5，x＜－12，3x－3，－12≤x≤4，x＋5，x＞4，作出其图象，可知函数f(x)的值域是－92，＋∞.【点拨】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有