非线性回归模型的线性化

第四章非线性回归模型的线性化4.1变量间的非线性关系迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生产函数:就是一例。2020/6/171LAKQ在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。2020/6/1723线性模型的含义线性模型的基本形式是:线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性变量以其原型出现在模型之中，而不是以或之类的函数形式出现在模型中。uXXXYkk......221102XX（2）参数的线性因变量Y是各参数βi的线性函数。这种模型称为标准的线性回归模型．非线性回归模型的分类：1虽然被解释变量Y与解释变量之间不存在线性关系，但与未知参数之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回归模型。其一般形式为：其中是关于的p个已知的非线性函数，是（p+1）个未知参数．412,,,kXXX01,,,p011122212(,,,)(,,,)kkYfXXXfXXX12(,,,)ppkfXXX1,,pff12,,,kXXX01,,,p2虽然被解释变量Y与解释变量和未知参数之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型．如柯布－道格拉斯生产函数模型：3如果被解释变量Y与解释变量和未知参数之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性回归模型．512,,,kXXX01,,,p12,,,kXXX01,,,piuiiiYAKLe4.2线性化方法1、非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：2020/6/176011122212(,,,)(,,,)kkYfXXXfXXX12(,,,)ppkfXXX1、非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：＋u令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型71112(,,,)kZfXXX2212(,,,)kZfXXX12(,,,)ppkZfXXX01122ppYZZZu4.2线性化方法011122212(,,,)(,,,)kkYfXXXfXXX12(,,,)ppkfXXX下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归模型（1）多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型82012kiiikiiYXXXu212,,,kiiiikiiZXZXZX01122iikkiiYZZZu例：yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut令x1t=xt，x2t=xt2，x3t=xt3，上式变为yt=b0+b1x1t+b2x2t+b3x3t+ut这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。(b10,b20,b30)(b10,b20,b30)例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）Ｃ＾t=2434.7+85.7xt-0.028xt2+0.00004xt3(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6)R2=0.9998,N=15(b10,b20)(b10,b20另一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut令x1t=xt，x2t=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1x1t+b2x2t+ut如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。（2）双曲函数模型双曲函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型1211iiiuYX**11,iiiiYXYX**iiiYXu双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*+ut上式已变换成线性回归模型。1/yt=a+b/xt+utyt=a+b/xt+ut（2）双曲函数模型（3）对数函数模型对数函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型14lniiiYXu*lniiXX*iiiYXu01234550100150200250300350400123456750100150200250300350400(β0)(β0)（4）、S-型曲线模型S-性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：令则可将原模型化为标准的线性回归模型151iiXiYeu1iXiieuY**1,iXiiiYXeY**iiiYXu2可线性化的非线性回归模型的线性化方法下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型（1）指数函数模型-10010203040506050100150200250300350400-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.250100150200250300350400)0(,)0(,baeybaeyttttubxtubxt指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到令则可将原模型化为标准的线性回归模型；2020/6/1717iibXuiYAelnlniiiYAbXu*ln,lniiYYA*iiiYbXu（1）指数函数模型（2）幂函数模型（全对数模型）幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：令则可将原模型化为标准的线性回归模型：2020/6/17181212kiuiiikiYAXXXe1122lnlnlnlnlniiikkiiYAXXXu****01122ln,ln,ln,ln,,lniiiiikikiYYAXXXXXX****01122iiikkiiYXXXu对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A、和为未知参数。试利用天津市1980年~1996年的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。19iuiiiYAKLe1,2,,in例４.２：天津市GDP函数(教材第95页)首先建立天津市的C-D生产函数模型i=1，2……，17两边取对数得到：令则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型20iuiiiGDPAKLelnlnlnlniiiiGDPAKLu12012ln,ln,lnln,,iiiiiiYGDPXKXLA01122iiiiYXXu例４.２例4.2：天津市GDP函数tYˆ=-10.46+1.02X1t+1.47X2t(-8.1)(34.7)(6.2)R2=0.9986,DW=1.7,N=17因为1.02+1.47=2.49，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。tYˆ3、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）