概率统计计数原理

第十章概率统计10.1计数原理1、分类计数原理(加法原理)2019年连淮扬镇铁路开通之后，从连云港到扬州可以乘火车，也可以乘汽车，若一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘这些交通工具从从连云港到扬州共有多少种方法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从连云港到扬州，所以，共有3+2=5种不同的走法。分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有𝒎𝟏种不同的方法，在第二类办法中有𝒎𝟐种不同的方法，…，在第n类办法中有𝒎𝒏种不同的方法,无论通过哪类的哪种方法，都可以独立完成这件事情那么完成这件事共有𝑵=𝒎𝟏+𝒎𝟐+⋯+𝒎𝒏种不同的方法。例1书架上有不同的数学书10本，不同的语文书11本，不同的英语书9本，现从中任取1本，问：有多少种不同的选法？解从书架上任取1本书可能是数学书、语文书、英语书，有三类取法：第一类，取出一本数学书，可以从10本书中任取一本，有𝑚1=10种取法；第二类，取出一本语文书，可以从11本书中任取一本，有𝑚2=11种取法；第三类，取出一本英语书，可以从9本书中任取一本，有𝑚3=9种取法；只需在书架上任取一本，即可完成任务，根据分类计数原理，不同的取法共有𝑁=𝑚1+𝑚2+𝑚3=10+11+9=30（种）例2在某批电器产品中，国有电器有97件，进口电器有23件，从中任取一种质检，共有多少种不同的取法？解该批电器可以分为国产和进口两类，从中任取1件即完成任务，从国产电器中抽取1件有97种取法，从进口电器中抽取1件有23种取法，所以不同的取法共有𝑁=97+23=120（种）问题解决在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？2、分步计数原理某人决定从连云港坐火车到扬州，再于次日从扬州乘汽车到镇江，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，他从连云港到镇江共有多少种不同的走法？分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，从连云港到镇江需乘一次火车再接着乘一次汽车就可以了，共有6种不同走法。分步计数原理：做一件事情，完成它需要𝒏个分成步骤，做第一步办法中有𝒎𝟏种不同的方法，做第二步有𝒎𝟐种不同的方法，…，做第𝒏步有𝒎𝒏种不同的方法,必须经过每一个步骤才能完成这件事情，那么完成这件事共有𝑵=𝒎𝟏·𝒎𝟐∙…∙𝒎𝒏种不同的方法。例3由1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字两位数？解组成没有重复数字的两位数，可以先确定十位上的数字，再确定个位数上的数字，分为两个步骤：第一步，从数字1,2,3,4,5任取一个数，作为十位上的数字，有𝑚1=5种选法；第二步，从剩余的四个数字中选取一个数，作为个位上的数字，有𝑚2=4种选法。以上两步依次完成，才能组成一个数，依据分步计数原理，共可以组成N=5x4=20个没有重复数字的两位数。例4两个袋子中分别装有3个红球和4个白球，从中取出1个红球和1个白球，共有多少种不同的取法？解要两个袋子中分别取出1个红球和1个白球，可以分为两个步骤：第一步，从装有红色的球袋中取出1个红球，有𝑚1=3种取法；第二步，从装有白色的球袋中取出1个白球，有𝑚2=4种取法以上两步依次完成，任务即完成，依据分步计数原理，共可以组成例5某校评选的优秀毕业生中，加工制造类有10人，土木建筑类有8人，商贸财经类的有5人，宾馆服务类有6人.（1）从这4类专业中选出1名优秀毕业生出席全省优秀毕业生表彰会有多少种不同的选法？（2）从这4类专业中各选出1名优秀毕业生，参加优秀毕业生报告会，有多少种不同的选法？解（1）根据分类计数原理，所有不同选法的种数为N=10+8+5+6=29.（2）根据分步计数原理，所有不同选法的种数为N=10x8x5x6=2400.总结：在做这类题时，首先要牢固掌握分类计数原理、分步计数原理，另外还要注意题中的隐含条件