-函数与导数(笔记整理)

1【寄语】：模块复习学案作用是使同学们明确该模块在高考中主要的常考点、题型、解题的方法规律，帮助同学们进行该模块错题、好题典题的整理，建议把平时测试题、复习用书中的错题、典题收录在对应考点的空白处，学会“数学”地总结，即能够识别题型、选择方法、熟练技能、概括思路。只要同学们坚持做好整理，将会收到事半功倍的效益。2012学年高三数学笔记整理一、知识网络：、**集合与简易逻辑知识结构定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在x＝0处有定义的奇函数→f(0)＝01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、对钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数.幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用换元法求解析式分段函数几何意义、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系生活中的优化问题注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数→f(T)＝f(T2)＝f(0)＝0复合函数的单调性：同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换最值极值集合集合的概念元素、集合之间的关系（子集、真子集、相等）集合的运算：交、并、补数轴、Venn图、函数图象集合的性质确定性、互异性、无序性表示方法(列举法、描述法、图示法)2二、近几年考题分析集合与逻辑、函数与导数在广东高考（理科数学）中基本上考3到4个小题，1个大题。小题难度中等或偏易，与集合有关的新定义问题有时难度较大；解答题一般落在后三题的位置，通常是含参数问题（分类讨论）、综合性强、难度大。近两年的函数解答题是压轴题（最后一题）。三、怎样总结（一）从某个核心知识出发(形成一种结构)（二）从某个典型题出发提炼思路，从某个重要问题出发总结方法系统（三）从某类常见问题中突破基本技能……例如：（一）核心知识：函数的单调性（根据下面的知识结构图找相应的题目搭配）（二）一种问题的一类方法：（1）函数单调性的判断方法3（2）函数的零点问题（3）一类题的技能总结（多道题有相似的困难特征，值得找出统一的解题思路。总结的策略为：集中做，对比分析，从算理中找出解题思路中的共性，不断完善，形成此类题的一般性的解决方法）专题1：含参数函数单调性讨论的基本思路是什么？第一步、求函数定义域（定义域优先）；第二步、求导,并通分,观察通分后的结构（能因式分解就先分解）；第三步、若'()fxaxb，分a=0,a0,a0'2()fxaxbxc若00,00,0,00aaa讨论两根是否在定义域内，比较两根大小，讨论两根是否在定义域内，比较两根大小即：讨论是否为二次方程，讨论是否有零点，讨论零点是否在定义域内，讨论零点之间的大小；（结合图像写出单调区间）例如：（1）求函数32()31fxxxax的单调区间；（2）求函数32()1fxxax的单调区间；(3)求函数32()31fxaxxx的单调区间4答案：（1）解：定义域为R，求导得'2()36+fxxxa令'2()=0360fxxxa即3612a'03()0()Rafxfx时，即，成立，则在上恒单调递增。03(2)a时，即此时一元二次函数有个解'126361263612()0,66aafxxx令得令'12()0fxxxxx得或，令'12()0fxxxx得综上所述，3()Rafx当时，的单调递增区间为3a当时,12()-+fxxx的单调增区间为（，），（，）1()fxxx2的单调减区间为（,）（2）与上变式(5)同，即对分三种情况进行讨论，固过程略(3)解：定义域为R，求导得'2()36+1fxaxx当'''110()61()0,()066afxxfxxfxx时，，令得令得，当'20()361,3612afxaxxa时，'03()0()Rafxfx时，即，成立，则在上恒单调递增。03(2)a时，即0此时一元二次函数有个解'126361263612()0,66aafxxxaa令得令'12()0fxxxxx得或令'12()0fxxxx得'20()361,36120afxaxxa时，成立'126+36126-3612()0,66aafxxxaa令得（注意二根的区别）令'12()0fxxxx得令'12()0fxxxxx得或5综上所述，0a当时,6+36126-3612(),66aafxaa的增区间为（）6+36126-3612-+66aaaa减区间为（，），（，）110()-,+66afx当时，的增区间为（，）减区间为（，）6-36126+36123()-+66aaafxaa当0时，的增区间为（，），（，）6-36126+3612,66aaaa减区间为（）3()Rafx当时，的单调递增区间为专题2：恒成立问题方法类型：(1)已知(),()fxgx是在闭区间D的上连续函续，则对xD,使得()()fxgx，等价于max(()())0fxgx(2).已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于.(3)若对，，使，等价于在上的最小值不小于在上的最小值即（这里假设存在）例如1、已知3)(,ln)(2axxxgxxxf对一切的)()(2),,0(xgxfx恒成立，求实数a的取值范围。61.解：3ln22axxxx，则,3ln2xxxa设)0(3ln2)(xxxxxh，则0)('),1,0(,)1)(3()('2xhxxxxxh，)(xh单调递增，),1(x，0)('xh，)(xh单调递减4)1()(minhxh，因为对一切),0(x，)()(2xgxf恒成立，4)(minxha2已知xaxxf1)(，xxgln)(，0x，Ra是常数．若对任意的12,12xx，都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．2解：对任意的12,12xx，都有1fx≥2gx成立等价于对任意的12x，都有minfx≥maxgx,即minfx≥2ln2g，即ln2fx恒成立，…7分即当12x，时，1ln2axx恒成立，即21ln2axx恒成立，等价于max21ln2()axx设21ln2()hxxx，则322ln2()0hxxx恒成立，∴max()()(1)1ln2hxhxh是[1,2]上的减函数，=，∴1ln2a……13分所以，实数a的取值范围是[1ln2,+).……14分（或通过换元化为二次函数求h(x)的最值）专题三：零点问题四个方法：（1）直接解（2）零点存在性定理7（3）化为两个函数交点问题（4）直接研究函数图像（求导，研究单调性）1函数2x+2x-3,x0x)=-2+lnx,x0f（的零点个数为()A.3B.2C.1D.02．设函数321()()2xfxx，则其零点所在的区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3.函数2()2xfxx的零点个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个4.求函数2233()4ln4ln2(0)xxgxxxxxxx的零点个数.4.2233()4ln4ln2(0)xxgxxxxxxx,2234(1)(3)()1xxgxxxx.,(),()xgxgx的取值变化情况如下：当03x时,140gxg；又55553ee202212290eg.故函数()gx只有1个零点,且零点50(3,e).xx(0,1)1(1,3)3(3,)()gx00()gx单调增加极大值单调减少极小值单调增加