点球大战中的概率

概率论论文点球大战中的概率班级学号摘要：实际罚点球时，由于守门员站位、反应时间、扑救距离以及罚球者的习惯（左右脚）、射门力度等因素的影响，不同的射门方向和力度影响甚大，如中路进球概率低于两侧，习惯右脚射门的人射左路的可能性大等，可以此为参照选择合适的射门方式或扑球策略。关键词：点球；射门；扑救；概率博弈；数学建模；控制区；多项式拟合；正态分布；旋转球；空气动力学；最优化引言：眼下，欧洲杯正如火如荼的进行，引来全世界球迷的瞩目，而点球大战是足球比赛中最惊心动魄的镜头之一。在足球比赛中，罚点球是对犯规队员的一种严重判罚和对被罚队最有威胁的判罚，同时是也攻方最容易得分的机会。另外，根据国际、国内足球运动现行竞赛规程的规定，在比赛规定的时间结束仍然踢成平局后，用踢点球来决定胜负。这样，踢点球的成败往往就成为一个队胜负的关键。而在最近的两场欧洲杯淘汰赛中，都是依靠点球决定胜负，罚点球真的只是靠直觉和运气吗？本文就将从概率和建模的角度对点球大战进行一些分析。正文：1．选择射门方向根据实际比赛中的统计，可假设：射门中路，守门员往左右扑救成功概率为0.6射门两侧，射门员扑向同侧时扑就成功概率为0.9，扑向异侧时成功概率为0.4用博弈论中的表格表示法为：射门者守门员左右左0.40.9中0.60.6右0.90.4射门射中的概率假设球员射门时随机选择方向，则射中期望E（左）=E（右）=0.4*0.5+0.9*0.5=0.65E（中）=0.6故不应选择射门向中路，据统计，在实际比赛中，选择射中路被扑出得到概率要远大于射向两侧此时将情况进一步增多首先假设不存在射飞或射高的情况。在扑对方向的前提下守门员也不会失误或脱手，不考虑补射的情况(点球大战中根本不存在)。就是说球只有两种状态：射进或被扑出。球员射门有6个方向：中下，中上，左下，右下，左上，右上如果球员射门的方向是随机选择的(类似于AI)，那么球射向这6个方向的概率均为1/6。而作为守门员，扑球有5种选择：不动，左下，右下，左上，右上①动可扑出中下和中上2个方向的点球②左下可扑出左下和中下③下可扑出右下和中下④左上可扑出左上⑤右上可扑出右上其中①②③3种选择可扑出2个方向的来球，换言之，这3种选择的效率是其他两种选择的2倍。所以作为一个守门员，面对一个没有经验的对手，扑球应该多选择①②③。那么如何作一个有经验的PKer呢？如果你面对的是一个菜鸟级的守门员，那么应该清楚他的扑球方向是大致随机的，即随机选择①—⑤。那么从下图可知6个射门方向被堵住的可能性是┏━━━┯━━━┯━━━┓┃1/5┊1/5┊1/5┃┠┈┈┈┼┈┈┈┼┈┈┈┨┃1/5┊3/5┊1/5┃┻━━━┷━━━┷━━━┻所以这种情况下我们要少打中下，其他的四个方向可以任意选择。但如果守门员并不是菜鸟，而是一只经验丰富的老鸟，他清楚①②③的效益是④⑤的2倍，他必然会有意识的多扑①②③。而且至少在概率是④⑤的2倍。(否则就不能体现这个效益)就是说8次扑救中①②③各2次，④⑤各1次。那么6个射门方向被堵住的概率就变成了┏━━━┯━━━┯━━━┓┃1/8┊1/4┊1/8┃┠┈┈┈┼┈┈┈┼┈┈┈┨┃1/4┊3/4┊1/4┃┻━━━┷━━━┷━━━┻现在不仅不能射中下，而且还要有意识的多打两个上角，因为进球的概率是7/8。2.从反应时间、防守面积，球受力等方面建立罚点球模型2.1模型假设1.不考虑心理及其他人为因素的影响。2.守门员和罚球员严格遵守比赛规则，并且没有其他球员的干预。3.当从守门员角度建立模型时，假设其身高为180cm；从罚球员角度建立模型时，假设守门员身高为197cm。4.为计算简便，将不同身高的守门员起跳时加速距离和起跳速度看作是相同的。5.在做鱼跃动作时，守门员飞行过程中其身体中轴线与地面的夹角是均匀变化的。6.守门员臂展长与身高相等。7.在球被踢出前，守门员站在两球门柱的正中间。8.球被踢出后在空中的最长飞行时间是0.6s。9.球在空中飞行的过程中，竖直方向空气阻力忽略不计。2.2影响罚球员射门成功率的因素主要考虑：1.球速的大小。2.球在空中的运行路线。3.球从球门的哪个区域射入。其中第3个因素的影响几乎可以说是决定性的。扑球时机的把握要想把球扑住，守门员须在球运动到球门附近时到达预计球入网的区域。虽然中速、慢速球要在0.4至0.6秒甚至更多的时间才能到达球门，但由于球速越快对罚球员就越有利（详见5.2.1.3），绝大多数罚球员会尽量提高球速。2.3扑救动作时间与球飞行时间的比较如图3所示，最快速的球穿过OA距离的时间为t1min=OAv1=1136=0.305s（1）考虑到大多数球入网时距地面也有一段距离，并且如果射出的是斜球，以打在球门框上的极端情况为例，有AB=OA2+OB2+h2=112+3.662+2.442=11.85m（2）t2min=ABv2=11.8536=0.329s（3）众所周知，人类目前的百米赛跑记录为9秒58，这个数据可以代表人体移动的最快速度，足球运动员是达不到专业短跑运动员这个速度的，他们大多在11秒左右的水平，我们姑且用这个数据计算一下守门员从球门中轴线移动到门柱处所需的最短时间v3=st=10011=9.09m/s（4）t3min=OBv3=3.669.09=0.402s（5）可以看出，守门员用最快速度扑到球门柱附近的时间明显大于球飞行的时间。因此，守门员必须罚球员支撑脚踏位时开始反应，并且在罚球员脚触球之前就做出动作。2.4中间区域的防守防守中间区域的进球，有站在原地拦截和原地跳起拦截两种方式，下面将对这两种动作进行比较。由于我们建立的模型要对绝大多数守门员都适用，而守门员的身高各不相同，如果是身高较低的守门员按照此模型可以扑到的球，那么身高较高的守门员一定也可以扑到。因此在计算过程中假设守门员的身高为优秀足球门将中身高的较小值180cm。要想计算守门员能够对球进行拦截的区域（以下简称为“控制区”），则必须对人体形态学构造进行分析。人在自然站立时，人体重心的位置大约在人体第三骶骨椎上缘前方7cm处，如果简化为从正前方观察的平面图，则可认为是在肚脐处，关于人的肚脐位置有黄金分割公式k=头顶到肚脐的距离肚脐到脚底的距离=1:1.618（6）已经假设守门员身高为180cm，则其重心距地面高度hG=h×1.6181+1.618=180×1.6181+1.618=111.25cm（7）守门员的“控制区”主要指其手及手臂可以触及到的地方，可近似认为是以双肩连线的中点为圆心，以双臂展开长度为直径的一个圆（图6）。人的双臂展开长度几乎等于其身高，下面确定圆心的位置：仍参照图5，可以看出人体从下巴到肩的距离为头部长度的1/3，而整个身体正好是8个头的长度，由此可知“控制区”圆心位置距地面的高度ho=h×8−1−138=180×8−1−138=150.00cm（8）而Δh=ho−hG=150.00−111.25=38.75cm（9）守门员防守区域示意图守门员站在原地时，也可以降低重心防守低位球，因此其“控制区”如图7蓝色阴影区域所示。守门员在原地防守的控制区面积：S1=12×π×r2+h×ho=12×3.1415926×12×1.82+1.8×1.5=3.97m2（10）如果使用跪撑式接地滚球或原地扑接地滚球动作，因为守门员重心降落的加速度不可能大于重力加速度，由式子hG−12×h=12×g×t12（11）可得将重心降落到可使手触地所需要的最小时间t1=2×hG−hg=2×1.1125−1.89.8=0.208s（12）职业运动员可以跳到1米以上的高度。以1米为例，由公式v02=2×g×hj（13）hj=12×g×t2（14）可算出其起跳速度v0=2×g×hj=2×9.8×1=4.43m/s（15）到达最高点时间11t=2×hjg=2×19.8=0.452s（16）守门员原地跳起时，由于其双臂不能兼顾到下面区域，“控制区”如图8所示为蓝色阴影区域减去球门上沿以上的部分。守门员原地跳起防守的控制区面积：S2=12×π×r2+H−ho×h=12×π×12×1.82+2.44−1.5×1.8=2.96m2（17）由于当其两肩连线中点到达球门上沿即可完全发挥此动作的防守作用，计算运动到此点的时间H−ho=v0×t−12×g×t22（18）t2=v0+v02−2×g×H−h0g=4.43+4.432−2×9.8×2.44−1.59.8=0.340s（19）比较S1与S2，t1与t2，可以看出不跳起时“控制区”范围较大，并且比跳起时节省很多时间。综合来看，当球在球门的中间区域进入（偏离球门中轴线的距离在守门员单臂展长度以内）时，守门员不跳起而是站在原地防守比较有利，可采用的原地拦截技术动作有以下几类[3]：（1）直腿式接地滚球。直线地滚球射门时，守门员并拢双腿，双手呈勺形接球，将球牢固地抱入怀中。（2）跪撑式接地滚球。守门员向侧面移步接球时，将重心移动到弯曲的支撑腿上，另一腿弯曲跪地。（3）原地扑接地滚球。扑接左侧地滚球时，右脚用力蹬地，身体向左侧顺势倒下，左侧的脚、小腿、大腿、躯干和手臂依次着地，左手在后，右手在球的侧后上方。扑接右侧地滚球时则同理反向。（4）接平直球。接胸部以下的空中球时，两手掌心向前，手指向下张开，将球抱于胸前。（5）接高空球。两臂上伸引球，两手拇指相靠，将球收抱于胸前。5.1.3.2两侧区域的防守防守两侧区域的平直球与高空球，需要比较左右移动和鱼跃两种动作。先假设时间足够，左右移动时的“控制区”面积为分别以球门长度和守门员将手举起的最大高度为长和宽的矩形面积：S3=L×ho+12×h=7.32×1.5+12×1.8=17.568m2（20）下面计算鱼跃动作控制区的面积。人在准备起跳时，如果要跳得高，需要依个人身体情况抬起脚后跟离地面10cm至20cm，浅蹲20cm至30cm，本文中我们取平均加速距离sa=40cm。由前文结论，守门员起跳速度v0=4.43m/s。由v02=2×a−g×sa（21）v0=a−g×t（22）可得加速度a=v022×sa+g=4.4322×0.4+9.8=34.33m/s2（23）加速时间t=v0a−g=4.4334.33−9.8=0.181s（24）守门员斜着起跳时，存在一个最佳初始角度α（自身加速度与地面的夹角），如图9所示，其中β是实际加速度与地面的夹角，ma’是ma与mg的合力，即实际加速度a‘是守门员自身加速度a与重力加速度g同时作用的结果。鱼跃起跳的受力分析根据几何关系，有tanβ=a×sinα−ga×cosα（25）由牛顿第二定律，可知在两坐标轴方向上的速度分量vx=a×cosα×tvy=a×sinα−g×t（26）从而得出两坐标轴方向上的位移分量x=vx×tSy=y0+vy×tS−12×g×tS2（27）二者合并，消去tS13y=y0+vy×xvx−12×g×xvx2（28）令y=0，则x=vx×vy±vx×vy2+2×g×y0g（29）将靠近零点的值舍去，得xt=vx×vy+vx×vy2+2×g×y0g（30）xt即为守门员落地时的位置。守门员重心划过的弧线下的面积为重心高度对从x=0到x=xt的积分S=y0+vy×xvx−12×g×xvx2xt0dx=y0×xt+12×vy×xt2vx−16×g×xt3vx2（31）将式（26）（27）（30）代入，得原式=y0×vx×vy+vx×vy2+2×g×y0g+12×vy×vx×vy+vx×vy2+2×g×y0g2vx−16×g×vx×vy+vx×vy2+2×g×y0g3vx2=y0×a×cosα×t2×a×sinα−g+a×cosα×t×a×sinα−g×t2+2×g×y0g+12×a×sinα−g×a×cosα×t2×a×sinα−g+a×cosα×t×a×sinα−g×t2+2×g×y0g2a×cosα−16×g×a×cosα×t2×a×sinα−g+a×cosα×t×a×sinα−g×t2+2×g×y0g3a×cosα×t2（32）此式中除α外其他量都是已知的，其中y0=hG=1.11