青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试二模数学

高三数学第1页共10页主视图左视图俯视图（第7题图）青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试数学试卷2018.04（满分150分，答题时间120分钟）考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，并正确填涂准考证号．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式|3|2x的解集为__________________．2．若复数z满足2315iz（i是虚数单位），则z_____________．3．若1sin3，则cos2_______________．4．已知两个不同向量(1,)OAm，(1,2)OBm，若OAAB，则实数m____________．5．在等比数列na中，公比2q，前n项和为nS，若51S，则10S．6．若,xy满足2,10,20,xxyxy则2zxy的最小值为____________．7．如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．8．621(1)(1)xx展开式中2x的系数为______________．9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A的概率是．高三数学第2页共10页10．已知()fx是定义在[2,2]上的奇函数，当(0,2]x时，()21xfx，函数2()2gxxxm.如果对于任意的1[2,2]x，总存在2[2,2]x，使得12()()fxgx，则实数m的取值范围是.11．已知曲线29Cyx：，直线2ly：，若对于点(0,)Am，存在C上的点P和l上的点Q，使得0APAQ，则m取值范围是．12．已知22s1(,,0)cos1aainMaaaaR，则M的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设,是两个不同的平面，b是直线且b．则“b”是“”的（）．（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件14．若已知极限sinlim0nnn，则3sinlimsin2nnnnn的值为（）．（A）3（B）32（C）1（D）1215．已知函数()fx是R上的偶函数，对于任意xR都有(6)()(3)fxfxf成立，当12,0,3xx，且12xx时，都有1212()()0fxfxxx．给出以下三个命题：①直线6x是函数()fx图像的一条对称轴；②函数()fx在区间9,6上为增函数；③函数()fx在区间9,9上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个高三数学第3页共10页16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为，并且12,OAeOBe．若将点到正八角星16个顶点的向量都写成12eeR，、的形式，则的取值范围为（）．（A）22,2（B）22,12（C）12,12（D）12,2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在正四棱锥PABCD中，22PAAB，E，F分别为PB，PD的中点．（1）求正四棱锥PABCD的全面积；（2）若平面AEF与棱PC交于点M，求平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量(cos,1)2xm，2(3sin,cos)22xxn，设函数()1fxmn．（1）若[0,]2x，11()10fx，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是cba,,且满足2cos23,bAca求()fB的取值范围．OOe2e1BAO（第16题图）高三数学第4页共10页19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知椭圆2222C1(0)xyabab：的一个顶点坐标为(2,0)A，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D且斜率存在的直线交椭圆于GH、，G关于x轴的对称点为G，求证：直线GH恒过定点4,0．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.设函数2()5fxaxaxR．（1）求函数的零点；（2）当3a时，求证：()fx在区间,1上单调递减；（3）若对任意的正实数a，总存在01,2x，使得0()fxm，求实数m的取值范围．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.给定数列na，若数列na中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列na的通项公式为3nna，试判断na是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列na满足122nnnaaa且212aa，设nS是该数列na的前n项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”na，使得对任意n*N都有0nS，且12111111818nSSS，若存在，求数列na的首项1a的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列na成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m，使1amd．高三数学第5页共10页青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准2018.04说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．15xx或(1,5)；2．52i2；3．13；4．1；5．33；6．12；7．π4；8．30；9.151192；10.5m；11．1[,1]2；12.474733M.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.A；14.D；15．B；16.C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为正四棱锥PABCD，取AB中点G，连接PG，22PAAB，6PG，高三数学第6页共10页21=(22)42268832SSS侧全底（2）连接AC，连接BD，记ACBDO，因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系Oxyz-．因为22PBAB，所以RtRtPOBAOB△△．所以2OAOP．所以(2,0,0)A，(0,2,0)B，(2,0,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P，(0,1,1)E，(0,1,1)F．所以(2,1,1)AE，(2,1,1)AF．设平面AEMF的法向量为(,,)nxyz，所以0,0,nAEnAF即20,20.xyzxyz所以0y．令1x，2z，所以(1,0,2)n．因为平面平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m设m与n的夹角为，225cos515mnmn25arccos5所以平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小是25arccos5．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）231cos()3sincoscos1sin122222xxxxfxx3111sincossin()22262xxx∵113()sin();[0,]10652fxxx又∴33arcsinarcsin6565xx（2）由ACABacAbsin3sin2cossin232cos2得高三数学第7页共10页2sincos2sin()3sinBAABA2sincos2[sincoscossin)3sinBAABABA32sincos3sincos(0,]26ABABB∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622BfBBfB即19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为椭圆2222C1(0)xyabab：的一个顶点坐标为(2,0)A，即2a又长轴长是短轴长的两倍，即241abb，所以椭圆方程2214xy；（2）解一：设直线GH的方程为(1)ykx,点1122,,xyxyG（）,H()则11,xyG(）联立方程组222222(1)(14)844044ykxykxkxkxy消去可得由韦达定理可得22121222844,,1414kkxxxxkk直线211121(),yyyyxxxx，GH：211212211121214()4(4)=yyyxxyyyxyyxxxxx当时，222212122121844[528][5()28]1414=kkkkxxxxkkxxxx高三数学第8页共10页2222214088[8]1414==0kkkkkxx所以直线则HG过定点（4,0）20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）①当0a时，函数的零点为25x；②当2508aa且时，函数的零点是52582axa；③当258a时，函数无零点；（2）当3a时，2()3+5fxxx，令2()3+5gxxx任取12,(,1)xx，且12xx，则211212121212()2322()()3535xxxxgxgxxxxxxx因为12xx，12,(,1)xx，所以210xx，121xx，从而211212()230xxxxxx即1212()()0()()gxgxgxgx故()gx在区间,1上的单调递减当,1x时，()6,gx22()3+5=3+5()fxxxgxxx即当3a时，()fx在区间,1上单调递减；（3）对任意的正实数a，存在01