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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 质量控制/管理 > 有限元第三章 最小势能原理和分片插值
在这一章中我们将介绍:•最小势能原理及具体应用;•同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系;•Ritz方法在单元内的应用•两种最常用的插值形式(Lagrange型和Hermite型);•协调的位移型单元的收敛条件。第三章最小势能原理和分片插值(有限单元方法的核心内容之一)AB0kjnmx,uy,vlis0y,v2b2ax,ujilk0’y’x’§3-1最小势能原理平衡问题,可以至少用以下叁种不同的方式加以描述:(i)平衡方程(ii)虚位移原理(iii)总势能取驻值(函数的极值问题)1.有限自由度系统质点系图3-1(a)为两个重分别为PA,PB的小球,由不计重量,弹性系数为k的弹簧相连,放置在光滑的曲面F(x,y)=0上。该系统的平衡问题可由以下三种方法来描述:F(x,y)=0ABAByxPBPAT’TrBrAo(c)图3-1(a)ABTNANBPBPAT’xyo(b)(1)平衡方程00:YXA00:YXBABlkT0(2)虚位移原理0ABTrprpBBAA(3)总势能取驻值BBAApypyplABk20210p在所有满足给定位移边界条件和协调条件的位移中,满足平衡条件的位移使总势能取驻值,若驻值是最小值,则平衡是稳定的。最小势能原理和平衡方程是否等价?2.无限自由度系统弹性体OLf(x)x,uP图3-2(1)轴向受拉的直杆。设杆长为L,截面积为A,弹性模量为E轴向分布载荷f(x)。x=0端固定,x=L端受端点集中力P。设位移u(x)满足:(i)u(0)=0(位移边界条件)(ii)u(x)在[O,L]上连续(协调条件)(iii)使总势能取最小值。LLpLuPudxfdxuEAu002)()(21)((3-1-1)u(x)即为该问题的解最小势能原理:总势能=变形能—外力之功设:u(x)+δu(x)为不同于u(x)的另外一种位移分布函数,也满足上述的位移边界条件和协调条件,则)0()0()()(0uuxuxux0)0(u(3-1-2)LLpLuLuPdxuufdxuuEAuu002)()()()(21)(LPLLLPPdxuEAdxuEALuPudxfdxuuEAuuu020200)(21)(21)()(将u(x)+δu(x)代入总势能函数考察两总势能函数之差0)()(uuuPP因πP(u)取最小值,即的充分必要条件是:对任意满足(3-1-2)的δu(x)有:000LLPLuPudxfdxuuEA(3-1-3)若假定u’’(x)存在、连续,则对(3-1-3)分部积分一次,并利用(3-1-2),可得到0)0(u(3-1-2)000LLPLuPudxfdxuuEA(3-1-3)0)()(0LLuPLuEAudxfuEA(3-1-4)(3-1-4)式对任意δu(x)都成立的充分必要条件是:0)(0PLuEAfuEA(平衡方程)(力边界条件)①由势能取驻值可以推出平衡方程。反之也对,说明两种描述方法在力学上等价。0)(0)0(0PLuEAufuEA(平衡方程)(力边界条件)(位移边界条件)用最小势能原理描述时,要求函数满足位移边界条件而力边界条件将作为势能取驻值的自然结果。0)0(u③两种描述方法对函数的光滑程度(即可微性)要求不同。用微分方程描述时要求u(x)有连续的二阶导数(记作u∈C2(0,L))。而用最小势能原理描述时,为了保证变形能存在,要求u’(x)平方可积(记作u∈H1(0,L))(NaturalBoundaryCondition)(EssentialBoundaryCondition)②两种描述方法对边界条件的要求不同。用微分方程描述时,u必须满足:(2)平面应力问题正方形区域边长为a,厚度为t,受到体积力(fx,fy),边界AB固定。边界BC、CD自由。边界AD的法向力为q(x),切向力为p(x)。nnnx,uP(x)(fx,fy)BDCAOy,v图3-3nq(x)tdxqpvutdxdyffvutdxdyEvuADyxPTTT21,u∣AB=v∣AB=0xyyxvuxyyxEEEETTTTT002121dsLdxdyydxdyydsLdxdyxdxdyxYX(其中LX,LY为区域Ω之边界Г的外法线n的方向余弦)。(能量泛函)格林公式总势能πP的驻值条件为:00000)21(TTTTTTTADyxyxYXYXyxyxyxADyxPtdsqpvutdsvuLLLLtdxdyffxyyxvutdxqpvutdxdyffvutdxdyE(3-1-5)注意到沿边界Г,外法线n的方向余弦为ABBCCDDALX-1010LY0-101以及沿边AB:δu=δv=0则(3-1-5)对任意δu,δv都成立的充分必要条件为:000Tyxyxyxffxyyx沿BC:σy=τxy=0沿CD:σx=τxy=0沿AD:σy=q,τxy=p略去了积分过程(2)梁的平面弯曲OLq(x)xQ图3-4Mv0)0()0()()()(21)(002vvLvMLvQvdxqvEIvLLP000LvMLvQvdxqdxvvEILLP(3-1-6)总势能和强制边界条件为势能驻值条件对上式分部积分两次,并注意到由于必须满足强制边界条件δv(0)=δv/(0)=0则有0)()(0LvQvEILvMLvEIvdxqvEILxLP(3-1-7)使(3-1-7)对任意δv(x)都成立的充分必要条件是:00)(0QvEIMLvEIqvEILx(平衡方程)(自然边界条件)微分方程的阶数为4。关于v’’、v’’’的边界条件为自然边界条件,关于v、v’的边界条件为强制边界条件。当用微分方程描述时要求v(x)有四阶的连续导数[v∈C4(0,L)]。用最小势能原理描述时,为保证变形能存在,只要求v’’(x)平方可积[v∈H2(0,L)]。本节讨论的三个例题,可作为维数不同,阶数不同的问题的代表。现把一些重要结论归纳如下表。其中,“方程阶数”是以位移为基本未知量来计算,“可微性要求”是对最小势能原理而言的。问题方程阶数强制边界条件协调条件可微性要求杆的拉伸2关于u的边界条件u连续u’平方可积平面问题2关于u,v的边界条件u,v连续u’,v’平方可积梁的弯曲4关于v,v’的边界条件v,v连续v’’平方可积(iii)将试探函数作为近似解代入描述问题的能量泛函中,由泛函取驻值,即§3-2Ritz法(有限元方法的基础之一)n,,21nn2211由于有限单元方法可以理解为在单元(子域)内应用的Ritz法。Ritz法是一种求近似解的常用方法,它的基本步骤是:(i)选一组满足强制边界条件、协调条件和可微性要求的基函数(ii)假定近似解(试探函数trialfunction)的形式为,0,0,021nPPP定出系数α1~αn。从而得到近似解。vL/4PLABxC以简支梁为例,求解在集中力P作用下的变形解法1基函数取多项式)()()()(221xLxxxLxx,12871EIPLEIP6412)(641)(1287)()(22211xLxEIPLxLxEIPLxxxv解法2:基函数取正弦函数LxxLxx2sin)(,sin)(21PPLLEILLvPdxvEILP212241240222241)4()(210021PPEIPLEIPL342341812EIPLLv3011549.0)4(EIPLLv300952.0)4(EIPLEIPLLv33011719.02563)4(解法1:解法2:精确值:两种方法求得的C点位移绝对值小于精确值。正弦的基函数,使支座处弯矩为零的条件(不属于强制边界条件)也得到满足。尽管Ritz法本身并不要求这一点,但是第二个近似解的精度显然比第一个要好得多。基函数的选取对解的精确度有显著的影响,(种类,项数)§3-3分片插值形式的基函数和试探函数(解的收敛性与插值函数的选取关系很大)图3-6x③3②2①14φ110φ31φ21φ41xxxx0001.一维Lagrange型插值图示一轴向受拉的直杆,截面积A和轴向分布载荷f可以是x的函数。因而轴向位移u(x)可能是x的复杂函数。(1)基函数ijjixi)(1当j=i0当j≠i定义基函数φ1~φ4。满足:(ii)设基函数在单元内是x的一次函数。(2)试探函数的形式取为基函数的线性组合41)(iiiuxu根据φi的定义显然有:(i)u(x)是x的分段线性函数;(ii)系数ui恰好代表结点i的位移值,相互之间是独立的。iiuxu)(这样分段(片)定义的试探函数的一个显著优点是:(i)强制边界条件很容易得到满足。例如u(0)=0的条件只要简单地令结点1的位移u1=0即可以实现。(ii)允许我们在任何方便的时候(例如组装总体刚度矩阵时)引入这些边界条件。(iii)由于强制边界条件问题已经有了妥善的解决办法,我们的注意力将转向协调条件和可微性问题。41)(iiiuxuφ110φ31φ21φ41xxxx000上面定义的φi(x)和u(x)都存在着“尖点“,光滑程度不高。但是:(i)φi(x)和u(x)在单元内连续,在结点处也连续;uu2u3u4u1u’xx00(3)协调性和可微性(ii)φi’(x)和u’(x)在单元内连续,在结点处可能不连续。但只有有限的跳跃量。在区间[0,L]上平方可积。Φi(x)和u(x)属于同一类型的函数。对于轴向受拉杆(二阶问题),u(x)满足最小势能原理对协调性和可微性的要求。0,0,0,04321uuuuPPP由可求得u1、u2、u3、u4的值,得到一个近似解。(4)Lagrange插值φi(x)、u(x)都涉及这样一个问题:由两个结点上的函数值在单元内确定一个线性变化的函数。图3-7为一个一般性的单元,两个结点i、j的坐标为xi、xj,假定单元内u(x)是x的线性函数uNjuiujx0x,uxixjijNixixj1xxixjui1xxixj图3-7xxu21)(jjiiuxuuxu)(,)(jjiijijiijijuxNuxNuxxxxuxxxxxu)()(
本文标题:有限元第三章 最小势能原理和分片插值
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