中考专题复习-相似三角形(模型-辅助线)

相似三角形（模型-辅助线）一、本章概述相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。二、知识回顾1、图形的相似（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比。2.相似三角形（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。（4）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。②判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（5）相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。3.位似（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。1.相似基本模型一、本节概述本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。1.“A”字形相似2.”8”字形相似二、典例精析能力目标：1.熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：2.借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题。【例1】已知：图下图，AD是的中线。（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则（2）若E为AD上一点，且,射线CE交AB于F，则思维探究：方法一：通过平行线构造相似解：过A点作AP//BC交CF于点P,“8”字模型APCD方法二：过A作AH//CF交BC延长线于H，则方法三：作DK//CF交AB于K,则方法四：作DM//AB交CF于M，则AF=DM,(2)构造平行线，通过线段比解决问题作BP//AD交CF于点P,大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和D点，其它的同学们自己尝试。【例2】如图，BD、CE为△ABC的高，求证：∠AED=∠ACB.思路分析：求证相等的两角，在如图所示的了两个三角形中，符合“斜A”相似模型，只要证明它们相似即可，且证明它们相似只能用边的比例关系，而边的比例关系可以通过另一对相似三角形得到。思维探究：通过相似求出比例关系证明：通过“斜”A相似证明等角。方法总结：通过相似证明等角是证明等角的一种常用方法，当发现“斜A”相似模型后，首先要想到利用相似证明等角。【例3】已知：如图,在O中,CD过圆心O,且CD⊥AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交O于F,交AB于E.求证：CB2=CF⋅CE.思路分析：求证的是一条线段的平方等于两条线段的积，结合它们的位置可以考虑构造“似”A相似模型。思维探究：连接FB构造“似A”相似模型，只要证明即可，需要找到一组等角。证明：连接BF、AC,通过垂经定理、圆周角定理转化条件证明相似，进而得到结论。方法总结：本题的关键是对平方关系转化，因此熟练掌握“似A”相似模型很有必要。三、成果检测1.如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则的值是()A.B.C.D.答案：2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB.(1)求证：AB：AE=AC：AD；(2)若AB⊥AC，AE:EC=1:2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形。答案：3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E.F，连接BE、DF.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若EF⊥AB,垂足为M,tan∠MBO=，求EM:MF的值。答案：4.如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B.C重合)，连结AD.问题引入：(1)如图①,当点D是BC边上的中点时,=;当点D是BC边上任意一点时,=(用图中已有线段表示).探索研究：(2)如图②,在△ABC中,O点是线段AD上一点(不与点A.D重合),连结BO、CO,试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由。拓展应用：(3)如图③,O是线段AD上一点(不与点A.D重合),连结BO并延长交AC于点F,连结CO并延长交AB于点E,试猜想的值，并说明理由。答案：5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止。设运动时间为t秒。(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得=9:100?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形?答案：2.双垂线模型一、本节概述本节重点讲解“双垂线模型”的应用和构造方法，记住这个模型的一些常见结论，在解题中会起到很好的效果，双垂线模型：如图中有两个直角标记，故称之为“双垂线模型”，会得到以下结论：(1)角的关系：(2)相似三角形：(3)射影定理：(4)等积变换：请尝试证明上述结论二、典例精析能力目标：1.熟练掌握双垂线模型；2.识别利用、双垂线模型【例1】如图,已知△ABC中,AD,BF为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC的延长线于H,求证：DE2=EG⋅EH.思路分析：求证中涉及到的线段，其所在的三角形不能直接得到所求的结论，因此要进行转化，DE恰好在“双垂直”模型中，因此,所求转成,只要证明它们所在的和相似即可。思维探究：通过双垂直模型转化DE。证明：利用相似三角形得到比例关系，进而转化为乘积关系。方法总结：本题利用双垂线转化线段的平法关系，是解题的关键。【例2】如图四边形ABCD是矩形，AB=2,,求EF与EG的数量关系。思路分析：求EF与EG的数量关系，只要将它们放入方程中求出即可，由于AB=2,E是AC中点，因此可以考虑构造中位线，进而出现双垂直模型。思维探究：构造中位线。解：取BC的中点H,连接EH,四边形ABCD是矩形，在中用勾股定理得到EF与EG的关系，利用双垂线模型面积关系整理方程得到关系，方法总结：本题利用“双垂直”模型的面积关系，当然也可以利用相似关系解决这个问题，留给同学们自己思考。3.一线三等角一、本节概述本节重点讲解“一线三等角”模型的应用和构造方法，这个模型的构造通常出现在综合性较强的压轴题中。模型一：如图，若，会得到以下结论：（1）（2）三角形相似请尝试证明上述结论模型二：如图是一线三等角的另一种形式，有着类似的结论我们会发现，其实前面学习的勾股弦图只是一线三等角的一种特殊情况。二、典例精析知识点1：一线三等角能力目标：1.熟练掌握一线三等角模型2.识别、利用简单的一线三等角模型解决问题【例1】如图，在等边三角形中，AB=4AD=4,点P在边BC(不与B、C点重合)上移动，且保持则AE的最小值是。思维探索：求出相关量解：求AE的最小值等价于求CE的最大值，利用函数关系式求最值。方法总结：本题是非常明显的“一线三等角”模型，直接利用即可。【例2】在四边形ABCD中，,BC=4,CD=6,则AC=思维探究：由于可尝试构造一线三等角解：方法总结：有两个等角时，可尝试构造“一线三等角”【例3】在中，,D是斜边AB的中点，E是BC边上一动点，连接DE、AE，当时，求CE的长。思维探究：解：通过“一线三等角”构造相似三角形利用相似三角形的性质解出所求。方法总结：本题为知道一角构造“一线三等角”，难度较大。根据模型二构造一线三等角【例4】在中，AB=AC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且,则DB与DC的数量关系为。思维探究：解:通过“一线三等角”构造全等三角形，三、成果检测1.已知：如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,F是AD上一点,CF⊥EF于点F交AB于点E,CD:CF=1:2.求AE的长。答案：2.如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,2BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是()A.B.C.D.答案：A3.如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(−2,1),点C的纵坐标是4,则B.C两点的坐标分别是()答案：过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF∥y轴,过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，4.如图1,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90,AB=AC=2,点E是BC边上一点,∠DEF=45且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.(1)如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如图3,点E在边BC上沿B到C的方向运动(不与B,C重合)，且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点。探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由。答案：5.阅读理解如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合)，分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。解决问题：(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处。若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,请直接写出BC：AB的值。答案：6.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图①).(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图②)，求PC的长；(2)探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止。在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①的值是否发生变化?请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。答案：