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中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图,在梯形ABCD中,ADBC∥,3AD,5DC,10BC,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t(秒).DNCMBA(1)当MNAB∥时,求t的值;(2)试探究:t为何值时,MNC△为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M,N是在动,意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。【解析】解:(1)由题意知,当M、N运动到t秒时,如图①,过D作DEAB∥交BC于E点,则四边形ABED是平行四边形.ABMCNED∵ABDE∥,ABMN∥.∴DEMN∥.(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)∴MCNCECCD.(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)∴1021035tt.解得5017t.【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论:①当MNNC时,如图②作NFBC交BC于F,则有2MCFC即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)∵4sin5DFCCD,∴3cos5C,∴310225tt,解得258t.ABMCNFD②当MNMC时,如图③,过M作MHCD于H.则2CNCH,∴321025tt.∴6017t.ABMCNHD③当MCCN时,则102tt.103t.综上所述,当258t、6017或103时,MNC△为等腰三角形.【例2】在△ABC中,∠ACB=45º.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.(2)如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么?(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=42,3BC,CD=x,求线段CP的长.(用含x的式子表示)【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】:(1)结论:CF与BD位置关系是垂直;证明如下:AB=AC,∠ACB=45º,∴∠ABC=45º.由正方形ADEF得AD=AF,∵∠DAF=∠BAC=90º,∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC,∴∠ACF=∠ABD.∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。(2)CF⊥BD.(1)中结论成立.理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG可证:△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD【思路分析3】这一问有点棘手,D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,①点D在线段BC上运动时,∵∠BCA=45º,可求出AQ=CQ=4.∴DQ=4-x,易证△AQD∽△DCP,∴CPCDDQAQ,∴44CPxx,24xCPx.②点D在线段BC延长线上运动时,∵∠BCA=45º,可求出AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.过A作ACAG交CB延长线于点G,则ACFAGD.CF⊥BD,△AQD∽△DCP,∴CPCDDQAQ,∴44CPxx,24xCPx.【例3】已知如图,在梯形ABCD中,24ADBCADBC∥,,,点M是AD的中点,MBC△是等边三角形.GABCDEF(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且60MPQ∠保持不变.设PCxMQy,,求y与x的函数关系式;(3)在(2)中,当y取最小值时,判断PQC△的形状,并说明理由.【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)证明:∵MBC△是等边三角形∴60MBMCMBCMCB,∠∠∵M是AD中点∴AMMD∵ADBC∥∴60AMBMBC∠∠,60DMCMCB∠∠∴AMBDMC△≌△∴ABDC∴梯形ABCD是等腰梯形.(2)解:在等边MBC△中,4MBMCBC,60MBCMCB∠∠,60MPQ∠∴120BMPBPMBPMQPC∠∠∠∠(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)∴BMPQPC∠∠∴BMPCQP△∽△∴PCCQBMBP∵PCxMQy,∴44BPxQCy,∴444xyx∴2144yxx(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很ADCBPMQ60°轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。(3)解:PQC△为直角三角形∵21234yx∴当y取最小值时,2xPC∴P是BC的中点,MPBC,而60MPQ∠,∴30CPQ∠,∴90PQC∠以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点,而是一些具体的图形时,思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EGCG,.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图1中BEF绕B点逆时针旋转45,如图2所示,取DF中点G,连接EGCG,,.你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)图3图2图1FEABCDABCDEFGGFEDCBA【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后,很多考生就想不到思路了。事实上,本题的核心条件就是G是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1)CGEG(2)(1)中结论没有发生变化,即CGEG.证明:连接AG,过G点作MNAD于M,与EF的延长线交于N点.在DAG与DCG中,∵ADCDADGCDGDGDG,,,∴DAGDCG≌.∴AGCG.在DMG与FNG中,∵DGMFGNFGDGMDGNFG,,,∴DMGFNG≌.∴MGNG在矩形AENM中,AMEN在RtAMG与RtENG中,∵AMENMGNG,,∴AMGENG≌.∴AGEG.∴EGCGMN图2ABCDEFG【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果△BEF任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?如果题目要求证明,应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:在△BEF的旋转过程中,始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了。(3)(1)中的结论仍然成立.G图3FEABCD【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点B′处.(1)当CEBE=1时,CF=______cm,(2)当CEBE=2时,求sin∠DAB′的值;(3)当CEBE=x时(点C与点E不重合),请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的,E在BC上和E在延长线上都是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。【解析】(1)CF=6cm;(延长之后一眼看出,EAZY)(2)①如图1,当点E在BC上时,延长AB′交DC于点M,∵AB∥CF,∴△ABE∽△FCE,∴FCABCEBE.CADB图1∵CEBE=2,∴CF=3.∵AB∥CF,∴∠BAE=∠F.又∠BAE=∠B′AE,∴∠B′AE=∠F.∴MA=MF.设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.在Rt△ADM中,由勾股定理得:k2=(9-k)2+62,解得k=MA=132.∴DM=52.(设元求解是这类题型中比较重要的方法)∴sin∠DAB′=135AMDM;②如图2,当点E在BC延长线上时,延长AD交B′E于点N,同①可得NA=NE.设NA=NE=m,则B′N=12-m.在Rt△AB′N中,由勾股定理,得m2=(12-m)2+62,解得m=AN=152.∴B′N=92.∴sin∠DAB′=53ANNB.(3)①当点E在BC上时,y=18
本文标题:初中数学动态几何问题
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