(完整)数学高二(下)沪教版(复数的平方根与立方根-实系数一元二次方程)教师版

中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院精锐教育学科教师辅导讲义年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题复数的平方根与立方根，实系数一元二次方程教学目的1、理解复数平方根和立方根的定义，会求负数的平方根与立方根；2、理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有里两个根并掌握根的求法。教学内容【知识梳理】1、复数的平方根如果),,,(,Rdcbadicbia满足：dicbia2)(，则称bia是dic的一个平方根。【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；（2）复数的平方根一般不要记为z。2、复数的立方根若复数21,zz满足231zz，则称1z是2z的立方根。【注】1的立方根有三个：1，，2（其中i2321），满足210。3、实系数的一元二次方程:实系数的一元二次方程02cbxax（a、b、cR，且0a）(1)当042acb时，方程有两个不相等的实数根；(2)当042acb时，方程有两个相等的实数根；(3)当042acb时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根iabacabaibacbx242242221xx—，∴2121||xxx，1212Rexxx.这时两根仍然满足韦达定理：abxx21，acxx21【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。（2）实系数一元二次方程02cbxax在复数范围内总有两个解1x、2x，总可以进行因式分解：))((212xxxxacbxax。【典型例题分析】（一）复数的平方根与立方根例1、求下列复数的平方根（1）-7（2）-3+4i中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院答案：（1）7i（2）1+2i或-1-2i变式练习：设2,,,zCzaaR求实数z.解析：分类讨论a0时，za；a0时，zai；a=0时，z=0.22321322101设复数+i,则1，，都是1的立方根。的性质：+，，例2、利用1的立方根，求下列实数的立方根。(1)64；(2)-125答案：略变式练习：计算复数1222()3izi的值。答案：-64。（二）实系数一元二次方程例1、在复数范围内分解因式：2223xx【分析】若12,xx是实系数一元二次方程20axbxc的根，则有2axbxc12axxxx【解】2220220223244iixxxx1515222iixx变式练习1：已知1-i是实系数一元二次方程20xpxq的一个根，则pq=【答案】8中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院例2、复数z满足方程210zz，求41zz的值【分析】由210zz知，z是1的两个立方虚根，故令zw【解】由210zz得，2131022zwz或所以原式4428211【点拨】本题的关键是由210zz得，zwzw或例3、若12,zz为虚数且为实系数一元二次方程20xpxq的两个根，且212zz，求,pq的值。【分析】由条件虚数且为实系数一元二次方程两根，故两根互为共轭，即21zz，又212zz，由两个条件可求出12,zz，再利用根与系数求,pq【解】设1,,0zabiabRb，则2zabi，于是2abiabi，即222ababiabi，从而2212232aabaabbb即此一元二次方程的根为1322i所以131312222pii131312222qii例4、设,为实系数一元二次方程两虚根，且2R，求的值。【分析】本题未给出具体方程，但要求具体的值，两个人条件中第一个条件只能说明，而条件2R有两个等价形式：2的虚部为零或22，由于条件一中涉及到共轭问题，因此考虑第二种形式由2R得22，即22，因,，故22从而31，因,为共轭复数，故为虚数，即132i中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院本题若直接设,,0abiabRb,abi代入2R得出a与b的关系，同样可求出的值，不妨试一试。【答案】132i例5、已知z为复数（1）若10zz，求z（2）若122zz，求z【解】（1）22110010zzzzz21zzi（2）设1kzz，则22,kkR故从而2210,40zkzk故该实系数一元二次方程有两共轭虚根,，由韦达定理1，即21所以1，即满足122zz的复数z必然有1z例6、设虚数12,zz满足212zz，若12,zz又是一个实数系一元二次方程的两根，求12,zz【分析】由于12,zz是实数系一元二次方程的两根，因此12,zz互为共轭。【解】设12,zabizabi,,0abRb由212zz，得222ababiabi于是22112223322aaabaabbbb或121313,2222zizi或121313,2222zizi中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院例7、求实数m，使方程2210xmixmi至少有一个实根。【错解】由2224180mimim222mm或【错解分析】本题错在把实数系一元二次方程的根判别式套用到复数系一元二次方程中，事实上，判别式对复数系一元二次方程不成立，正确的解法是将复数问题实数化。【正解】设,zttR为原方程的根，则原方程化为2120tmttmi2110220ttmtmtm故当2m时，方程至少有一个实数。例8、设方程0222mxx的两根为21,xx，且321xx，求实数m的值。【答案】11744m或变式练习：设，是关于x的方程230xxm的两根，mR，且9，试求m的值。【答案】81184或【课堂小练】1、已知关于x的二次方程0342izxx有实根，求复数z的模的最小值。答案：322、设,2321iw则23,__________ww2,1_____ww。·【答案】13,22i1，03、若i21是方程),(,022Rcbcbxx的一个根，则b__________，c_________。【答案】4,104、在复数范围内分解因式：8522xx=_________________________。中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院【答案】1515222iixx5、164x在复数范围内分解成一次式的乘积为。【答案】2222xxxixi6、在复数集中分解因式：2321xx=。【答案】1212333iixx7、若方程220()xaxaR有虚数根z，则|z|=。【答案】28、已知实系数方程0)1(2kxkx的虚根的模等于5，求k的值，并解此方程。【答案】5k2xi9、已知关于x的方程222440xaxaa()aR的两根为、，且3，求实数a的值。【答案】1322a或10、已知方程02mxx有两个根1x，2x，Rm。（1）若3||21xx，求m；（2）若3||||21xx，求m。【答案】（1）522或（2）924或11、若关于x的实系数一元二次方程052mxx的两个虚根1x、2x满足321xx，则实数m的值是()(A)17(B)217(C)8(D）4【答案】B中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院12、复数i43的平方根是。【答案】2,2ii13、1的立方根是。【答案】1，132i14、求值：（1）615122143iiii（2）iii4091123【答案】（1）111i（2）4931241i15、设复数Raiaaaaz其中,67222，当a取何值时，z所对应的点在复平面的第四象限内？【答案】16a16、若Rbabiaz,满足5z,且ibaba3443是纯虚数，求复数z。【答案】4,34,3abab或17、复数ikkkk22232在复平面内对应的点在第二象限，求实数k的取值范围。【答案】20k中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院18、设复数0,,bRbabiaz，22babiabiaw是实数，且21w。（1）求z的值；（2）求z的实部a的取值范围。【答案】（1）1（2）112a19、已知复数iiiz21312，且ibazz12，求实数ba,的值。【答案】3,4ab【课堂总结】1、关于复系数一元二次方程200,,,axbxcaabcC24bac一般不能用来判断这个方程根的情况，然而实系数一元二次方程中根与系数的关系对于复系数一元二次方程仍适用，即有1212,bcxxxxaa。一元二次方程的求根公式仍然成立，只不过两根不一定成共轭复数。2、实系数二次三项式在复数范围内的因式分解若12,xx是实系数一元二次方程200,,,axbxcaabcR的根，则有2axbxc12axxxx，这样就可以利用一元二次方程的求根公式在复数范围内将实数系的二次三项式分解因式。3、解题方法指导（1）实系数一元二次方程若有虚根，则其虚根是成对出现的，即为共轭复数（2）已知实数系一元二次方程的一根或两根的关系，求其系数时，一般对根的情况分类讨论，即分实根和虚根，利用根与系数的关系加以求解。【课后练习】1、在复数范围内2310x的根为_________________2、满足方程20zz的复数z有（）A1个B2个C3个D4个中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院3、已知方程2220xkixki至少有一个实根，则实根k的取值范围是（）A23B,2323,C22D,2222,4、若实系数一元二次方程有一个根为23xi，则这个方程是（）A2450xxB2450xxC24130xxD24130xx5、若实数系一元二次方程有一个根22xi，则这个方程一定有另一个根为（）A22iB22iC22iD22i6、a为何值时，方程12xaiyiaiay有实数解？求此实数解。7、复数z和w满足220zwiziw，如果z和w又满足2wzi，求z和w8、设12,zz