第一章-第一节-n阶行列式的定义和性质(2)

第一章行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的.它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。§1.1n阶行列式定义和性质一、二、三阶行列式定义的引出1.二阶行列式例1：二阶线性方程组22221211212111bxaxabxaxa且021122211aaaa.解：利用加减消元可求得122122112121121122122111221221,.baababbaxxaaaaaaaa取2112221122211211aaaaaaaaD，2122212221211baabababD，得.,2211DDxDDx定义1二阶行列式由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211aaaaaaaa称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ija称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标,表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的),(ji元。2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2项，且正负项的各数相同。应用：解线性方程例2：解方程组.328322121xxxx解D213213)2(2,71D2338)3(3)2(8,71112112121212abDabbaab2D318218)3(2.14因,07D故所给方程组有唯一解1xDD177,12xDD2714.22.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号）333231232221131211aaaaaaaaa=.332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式。3阶行列式由23个元素组成，三行三列；展开式也是一个数或多项式；若是多项式则必有6!3项，且正负项的各数相同。其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。应用：解三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组333323213123232221211313212111,bxaxaxabxaxaxabxaxaxa记D=,333231232221131211aaaaaaaaa1D=,333232322213121aabaabaab2D=,333312322113111abaabaaba3D=,332312222111211baabaabaa若系数行列式D0，则该方程组有唯一解：.,,332211DDxDDxDDx例3.计算三阶行列式601504321解601504321601)1(52043)1(030516244810.58例4(解三元线性方程组.013222321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式D111312121)1(11)1()3()2(12111)1(1)3(1)1(2)2(5,01D110311122,52D101312121,103D011112221,5故所求方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx再看三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa=.332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa=112233233212213323311321322231()()().aaaaaaaaaaaaaaa=222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa二、n阶行列式的定义1.n阶行列式的定义定义3由2n个数),,2,1,(njiaij排成n行n列的式子，称nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211为n阶行列式。注意：n阶行列式|D|是一个算式（多项式）。当1n时，|D|1111aa；当2n时，njjjnnnAaAaAaAaDD1111112121111其中，jjjMA111)1(nnjnjnnnijijiinijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaM1,1,1,11,11,11,1,1,1,1,21,21,2211并称jM1为元素ja1的余子式，jA1为元素ja1的代数余子式；其中,求和式中共有!n项．2.几个特殊行列式上三角行列式，下三角行列式和对角行列式nnnnaaaaaaD222112111,11,22111,1112nnnnaaaaaaDnnaaaD00000022113.例5计算nnnnaaaaaaD222112111解：利用数学归纳法可以证明。1Dnnaaa2211结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．例6证明12,11,21000000nnnnnaaaaD2)1()1(nn11,21nnnaaa证明：利用行列式的定义111112,31,211)1()1(000)1(nnnnnnnnnnDaDaaaaD反复利用行列式的定义，可得12,11,2112)2()1(21,2211111)1()1()1()1(nnnnnnnnnnnnnnnaaaaDaaDaD2)1()1(nn11,21nnnaaa结论：以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积,并冠以符号2)1()1(nn．特例：nn2121，nnnn212)1(21)1(3.全排列和逆序数定义4把n个不同的元素排成一列组成的一个有序数组称为这n不同数的一个全排列(简称排列).显然，由n,,2,1组成的n12是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，称自然排列。标准排列：对n个不同的自然数从小到大构成的排列．注：n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．例如,自然数1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3！=6）；自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种；那么互异元素nppp,,,21构成的不同排列？有!n种．定义5在一个全排列中，如果某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时,称这两个数（元素）之间有（存在）1个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列njjj21的逆序数记为)(21njjj.注意：逆序是对元素来说的，而逆序数是对一排列来说的。算法：固定),3,2(i,当ij时,满足ijpp的“jp”的个数记作it（称为ip的逆序）,那么)(21npppntt2.例求排列8372451的逆序数,1562231172tt．定义6对一排列来说，逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.4.排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部排列两两配对，使每两个配成对的排列在这个对换下互变.定理1对换改变排列的奇偶性.这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.相邻对换：niiniipppppppp1111一般对换：nijnjipppppppp11)(ji推论在全部!n各排列中，奇、偶排列的个数相等，各有2/!n个.5.n阶行列式的另一定义在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中n个元素(譬如iniiaaa,,,21)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.看一下二阶和三阶行列式的定义.我们有2112221122211211aaaaaaaa,(1)312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(2)从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，每一项都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，每一项都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成321321jjjaaa,(3)其中321jjj是1，2，3的一个排列.可以看出，当321jjj是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当321jjj是奇排列时带有负号.定义7n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211(4)等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积nnjjjaaa2121(5)的代数和，这里njjj21是n,,2,1的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当njjj21是偶排列时，(5)带有正号，当njjj21是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(,(6)这里njjj21表示对所有排列求和.为了计算n阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.由定义看出，n阶行列式是由!n项组成的.三、n阶行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.n阶行列式一共有!n项，计算它就需做个乘法.当n较大时，!n是一个相当在的数字.直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算.性质1行列互换，行列式不变.即111211121121222122221212||nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaa=TD证明：（略）设nnnnaaaaD1111,nnnnaaaaD1111Τ则称||TD是D的转置，即DDΤ．证令),,2,1,(njiabjiij,则nnnbbbbD1n111Τ=nnnppppppbbb212121)()1()(21npppDaaanppppppnn21)(2121)1(性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立.例如下三角形的行列式nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000性质2行列式nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111||对任意一行按下式展开，其值不变。niAaAaAaaaaaaaaaaDininiiiinnnniniin,,2,1,2211212111211其中ijjiijMA)1(，ijM是划去元素ija所在的第i行与第j列，剩下的2)1(n个元素按原来的排法构成一个1n阶行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijinijiijijinnnjnjnnaaaaaaaaMaaaaaaaa