12-2.3恰当微分方程与积分因子

1§2.3恰当微分方程与积分因子2),(yxfdxdy变量分离方程线性微分方程0),(dydxyxf0),(),(dyyxNdxyxM对称形式的微分方程3一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuudyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu4定义1使得若有函数),,(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(则称微分方程)1(,0),(),(dyyxNdxyxM是恰当微分方程..),()1(cyxu的通解为此时1恰当微分方程的定义恰当方程(ExactEquation)5例：0ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf上述方程是恰当微分方程)(xyd)(23xyyxd))()((ydygxdxfd0323dyxydxy)(3xyd6对于方程(1)方程(1)是否为恰当微分方程?(2)若(1)是恰当微分方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当微分方程,是否可能转化为恰当方程求解?)1(,0),(),(dyyxNdxyxM考虑72方程为恰当微分方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(RyxNyxM)1(0),(),(dyyxNdxyxM为恰当微分方程的充要条件是)2(),(),(xyxNyyxM8证明“充分性”设(1)是恰当方程,使得则有函数),,(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),,(yxMxu),(yxNyu从而2,Muyyx2.Nuxxy从而有都是连续的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM9“必要性”，xyxNyyxM),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y满足则需构造函数),,(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即应满足)5(),,(yxMxu)6(),,(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu0),(),(dyyxNdxyxM10,)(的任意可微函数是这里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd即同时满足使下面选择),6(),(uydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu)6(),(yxNyu11)7(),()(dxyxMyNdyyd()()dyyydy对积分，可求出)(),(),(ydxyxMyxu此时，要求(7)的右端与x无关(7)的右端对x求偏导为0！12事实上]),([dxyxMyNx]),([dxyxMyxxN)7(),()(dxyxMyNdyyd]),([dxyxMxyxNyMxN.013积分之得右端的确只含有于是,)7(,y,]),([)(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,]),([dydxyxMyN。yxu为恰当方程从而存在即)1(,),()7(),()(dxyxMyNdyyd14若(1)为恰当方程,则其通解为为任意常数ccdydxyxMyNdxyxM,]),([),()1(0),(),(dyyxNdxyxM注:15二、恰当方程的求解1.不定积分法2.凑微分法161不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20令).(),(30yyxNyu求由17例验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.解:(,),(,)2sin.xMxyeyNxyxy(,)1Mxyy故所给方程是恰当方程.满足由于所求函数),(yxu,yexux,sin2yxyu,),(xyxN18,yexux,sin2yxyu积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义xyeyx,,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex19).(),(yyxeyxux应满足的方程为得求偏导数关于对)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy故.cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex200)sin2()(dyyxdxyex另一种思路：0sin2ydyxdyydxdxex改写0)cos2()()(ydyxdedx.cos2cyyxex从而方程的通解为凑微分212分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd2222yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd23例验证方程,0)1()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:),1(),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxMyyxM),(故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得,0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd,0xy2,),(xyxN24,0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx得由初始条件,2)0(y,4c故所求的初值问题的解为:.4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd25考虑方程:0323dyxydxy是恰当方程？yyxM),(23yxyxN),(是恰当方程!再考虑方程:03xdyydx是恰当方程？1),(yyxMxyxN),(3不是恰当方程!0323dyxydxy03xdyydx解相同!!非恰当方程能否变成恰当方程？26三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:,0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y,0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10))((27对一阶线性方程:,0))()((dxxQyxPdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(dxxPe,0))()(()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则()()(())PxdxPxdxdeyQxedx,0是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.()()()PxdxPxdxePxex()(()())PxdxePxyQxy281定义使得如果存在连续可微函数,0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx)1(,0),(),(dyyxNdxyxM29例5解:对方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后为恰当方程故所给方程乘于yx.),(是其积分因子所以yx.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证dyyxxdxxyyyxyx例30后得对方程两边同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx0)32()43(22dyyxxdxxyyyxyx2),(积分因子：求通解0)(3423yxyxd故方程的通解为:。ccyxyx为任常数,3423312积分因子的确定:0),(),(),(充要条件是的积分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN32)(xNyMyMxN.0),(),(),,(,),(更困难方程一般来说比直接解微分要想从以上方程求出程为未知函数的偏微分方上面方程是以dyyxNdxyxMyxyx尽管如此,方程)(xNyMyMxN还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.33则的积分因子有关存在仅与如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM这时方程,0y)(xNyMyMxN变成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即由于上式左侧仅与x有关，所以上式右侧只能是x的函数的微分。34(,)(,)0MxydxNxydxx故有一个仅依赖于的积分因子的必要条件是,)(NxNyM此时求得积分因子NxNyMx)()(这里,)()(dxxex.),(无关而与的函数只是yxxdxxd)(353定理微分方程)1(,0),(),(yxNdxyxM是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于x,)(NxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,x,)()(dxxexNxNyMx)()(这里36充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理y)1(,,)(MxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy这里37例求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM这里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰当方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与xy,)(x38dxxex)()(dxe1xe后得对方程两边同乘以xex)(0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰当方程求解法得通解为.,222为任意常数ccyeeyxx1)()(NxNyMx39•积分因子是求解微分方程的一个极为重要的方法•绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决•但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.几点说明40积分因子的不唯一性22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd2yxdyydx),(yxd根据实际情况确定41例求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改写为:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有积分因子,1),(22yxyx:),(乘改写后的方程两边得以yx,2)(2222dxyxyxd42即,22dxyxd故方程的通解为:.,22为任常数ccxyx,2)(2