数学建模降价折扣券对消费者的影响

数学建模第四次大作业姓名学号刘维20116554林胜军20116552王波201165降价折扣券对顾客消费行为的影响【摘要】本文针对降价折扣券对顾客消费行为影响的研究，通过调查数据以及图表分析，建立统计回归模型（logit模型），在MATLAB软件上运用最大似然法估计模型的参数，并作出logit回归曲线与散点图以及预测值和置信区间，从而对模型进行分析和预测，更好的解决问题。就问题（1）、问题（2）和问题（3），从折扣券折扣比例的变化对使用折扣券人数比例产生的影响这方面进行分析讨论，对问题（1），研究结果表明，需建立一个logit回归模型。对问题（2），由估计模型方程，得出当折扣比例为9.9973%时，使用折扣券人数比例为25%。对问题（3），研究表明，折扣比例每增加5%，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的比相应的增加，也就是随着折扣比例的增加，使用折扣券人数比例也增加。本文通过再建立一个probit回归模型和logit模型进行比较，对该模型进行评价与结果分析，得出模型的优缺点并对把模型推广和扩展。【关键词】降价折扣logit模型消费行为回归分析一、模型的假设1.模型的假设（1）假设这1000个顾客是相互独立的。（2）折扣券的折扣比例是固定的。2.符号说明x表示折扣券的折扣比例y表示使用折扣券人数比例Y表示使用折扣券人数ni表示持折扣券人数mi表示使用折扣券人数i表示第i组的使用折扣券人数比例xi表示第i组的折扣比例的概率时使用折扣券人数比例表示折扣比例为xx)(0表示回归模型的常数项1表示回归模型的X的系数二、问题分析（1）、为了分析使用折扣券人数的比例与折扣券折扣比例的关系，建立模型。根据问题中的数据作食用折扣券人数比例与折扣比例的散点图，粗略地进行判断。图1：使用折扣券人数比例与折扣比例的散点图由上图可以看出，使用折扣券人数比例随着折扣券折扣比例的增大而递增，大致是介于0与1之间的曲线，分析这条曲线应该建立怎么样的回归方程？（2）根据估计的回归方程，估计使用折扣券人数比例为25%时，折扣券的折扣比例应该多大？（3）根据模型的估计方程，分析折扣券的折扣比例每增加5%，使用折扣人数比例的变化情况。三、模型的建立与求解1.模型建立由于使用折扣券人数比例比例实际上是折扣比例x时Y的平均值，用期望的表示为y=E（Y︱x）使用折扣券人数比例y是折扣比例x的函数，其取值在区间[0,1]上，如果用普通的方法建立回归方程，那么很容易求得其线性模型或更接近的非线性曲线，其回归模型为y=0+1x+2x^2+3x3+,其中随机误差服从均值为0的正态分布，特别地当2=3=0时为线性回归模型。然而在这个问题中，（1）式回归方程中y的取值不一定在[0,1]中。即使y在该范围内取值，由于给定x时，误差项也只能取0，1两个值，显然不具有正态性，而且的方差依赖于x,具有异方差性，这些都违反了普通回归分析的前提条件。因此，应建立一种logit回归模型。该模型为：㏑｛)](1/[)(xx｝=0+1x其中条件期望)(x=P（Y｜x）,方差D（Y｜x）=)(x（1-)(x）)(x在[0,1]上取值,logit（)(x）取值为（,）2.模型求解首先由问题重述的表中的数据，用最大似然法估计模型参数,其模型为:logit（i）=ln[i/(1-i)]=0+1x其中i=mi/ni利用MATLAB统计工具箱中的命令glmfit求解，用表（1）中的数据输入并执行以下程序：T=[0.050.100.150.200.30]';Chd=[325170103148]';Total=[200200200200200]';Proport=Chd./Total;[b,dev,stats]=glmfit(T,[ChdTotal],'binomial','logit');logitFit=glmval(b,T,'logit');plot(T,Proport,'o',T,logitFit,'r-');xlabel('T');ylabel('ProportionofCHD')b,bi=stats.se,dev得到logit模型中的参数0，1的最大似然估计值与它的标准差（见下表），拟合偏差为0.5102，并得出logit回归曲线与散点图。曲线与散点图为：,图1：对应的曲线与散点图再利用命令[yhat,dylo,dyhi]=glmval(b,T,'logit',stats)得到因变量的预测值及置信度为95﹪的置信区间，结果如下表：折扣比例／%使用折扣券比例预测值置信区间50.1600.1622[0.1313,0.1987]100.2550.2501[0.2175,0.2858]150.3500.3648[0.3325,0.3984]200.5150.4972[0.4599,0.5345]300.7400.7457[0.6917,0.793]四、模型评价与结果分析（一）、用另一种广义线性模型probit模型处理这类问题，并与logit模型比较，得出优缺点。probit模型的形式为：)(x=（0+1x）probit()(x)=1()(x)=0+1x其中是正态概率分布函数，它也是S型曲线。（1）利用MATLAB求解该模型的参数估计值、标准差(见下表)和拟合偏差0.5527。（2）、再作出probit模型的预测值和置信区间，与logit模型相互比较（见下表）。表1：Probit模型与logit模型的比较折扣比例/%使用折扣券人数比例预测值（logit）预测值（probit）置信区间（logit）置信区（probit）50.1600.16220.1589[0.1313,0.1987][0.1267,0.1960]100.2550.25010.2520[0.2175,0.2858][0.2194,0.2870]150.3500.36480.3679[0.3325,0.3984][0.3365,0.4002]200.5150.49720.4973[0.4599,0.5345][0.4613,0.5333]300.7400.74570.7438[0.6917,0.793][0.6900,0.7923]（3）、作出probit模型的拟合曲线图2：probit模型的拟合曲线通过对probit模型与logit模型的预测值及预测区间的相互比较，还有对拟合偏差和拟合曲线的比较发现这两个模型不相上下。（二）、通过对模型预测与进一步分析，得出probit模型与logit模型的优劣通过上述分析可知，logit模型和probit模型都是合适的模型，下面要分析问题（2）和问题（3），对于这两个问题的解决，可以用logit模型进行解决，而probit模型是无法实现的，因此运用logit模型比较好。在logit模型中回归系数1有很直观的解释，logit模型与统计中的odds(发生比或优势)的概念有密切的联系，odds表示为折扣比例为X时，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的概率比，即odds（x）=)(x/(1-)(x)因此logit模型可以表示为odds（x）=ex10对于问题（2），当使用折扣券人数比例为25%时，即为)(x/(1-)(x)=ex10=1/3也就是0+1x=-1.0986，将0=-2.1855，1=10.8719代入方程，解得X=9.9973%，因此当折扣比例为9.9973%时，使用折扣券人数比例为25%。这就说明，当折扣比例高于9.9973%时，使用折扣券人数比例大于25%。对于问题（3），当折扣比例升高5%时，odds比为odds（x）／odds（x+5）=e)5(10x/ex10=e15于是ln1[odds（x+5）/odds（x）]/5，即1为自变量增加5个单位时odds比的对数的1/5倍。1＞0时，e15＞1，所以X每增加5个单位，odds比会相应的增加，即折扣比例每增加5%，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的比相应的增加，也就是随着折扣比例的增加，使用折扣券人数比例也增加，且对任意的正整数k，有odds（x+k）=e1kodds(x)。