全等三角形辅助线经典做法习题

全等三角形证明方法中辅助线做法一、截长补短通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.3.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD，CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.4.如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,E是DC的中点.问：AD,BC,AB之间有何关系？并说明理由.5.(德州中考)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=21∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.EDFCBA二、倍长中线（线段）造全等利用三角形的中位线，在很多题目中我们很能直接找出全等三角形，所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：延长FD于K,使得DK=DF∵DE⊥DF∴∠EDK=∠EDF=90º又∵DK=DFED为公共边∴⊿EDK≌⊿EFD∴EK=EF已知,△ABC中,AB=4cm,BC=6cm,BD是AC边上的中线,求BD的取值范围.已知：如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD.求证：AE=21AC.如图，AB=AE,AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.三、作平行线在遇到角平分线的时，可按照以下两种方式构造平行线，（1）过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交，（2）过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．证明：作DH∥AE交BC于H．∴∠DHB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∴∠DHB=∠B，DH=BD∵CE=BD∴DH=CE又DH∥AE，∠HDF=∠E∠DFH=∠EFC（对顶角）∴△DFH≌△EFC（AAS）∴DF=EF四、补全图形4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．证明：延长AD、BC相交于F．由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF．易证△ADB≌△FDB∴FD=AD=aAF=2a∠F=∠BAD又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°∴∠ABD=∠FAC∵BD为∠ABC的平分线∴∠ABD=∠CBE∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC∴△ACF≌△BCE（ASA）∴BE=AF=2a已知：如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE=21AD.五、利用角的平分线对称构造全等5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．证明：在BC上截取BE=BA，连接DE．由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD∴AD=DE∠A=∠BED又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠C，∴DE=CD∴AD=CD