厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10­11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 1 厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院各系2010年级各专业主考教师：杜妮、林鹭试卷类型：（A卷） 2011.1.13一、单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1)设b 为 3 维行向量， 123123 V{(,,)|(,,)} xxxxxxb==，则____。C A)对任意的b ，V均是线性空间；B)对任意的b ，V均不是线性空间；C)只有当 0 b=时，V是线性空间；D)只有当 0 b¹时，V是线性空间。2)已知向量组 I： 12 ,,..., saaa可以由向量组 II： 12 ,,..., tbbb线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I线性无关，则st£；B)若向量组 I线性相关，则st；C)若向量组 II线性无关，则st£；D)若向量组 II线性相关，则st。3)设非齐次线性方程组AXb=中未定元个数为 n，方程个数为m，系数矩阵 A 的秩为 r，则____。D A)当rn时，方程组AXb=有无穷多解； B) 当rn=时，方程组AXb=有唯一解；C)当rm时，方程组AXb=有解；D)当rm=时，方程组AXb=有解。4)设 A是mn´阶矩阵，B 是nm´阶矩阵，且ABI=，则____。A A)(),() rAmrBm==；B)(),() rAmrBn==；C)(),() rAnrBm==；D)(),() rAnrBn==。5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j在基 123 ,,xxx下的表示矩阵是 111 101 111æöç÷ç÷ç÷èø，则j在基 123 ,2,xxx下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121æöç÷ç÷ç÷èø；B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11æöç÷ç÷ç÷èø；C)11 22 121 0 121æöç÷ç÷ç÷èø；D) 1 2 1 2 11 202 11æöç÷ç÷ç÷èø。6)设j是 V到 U的线性映射，dimV,dimU nm==。若mn，则j ____。BA)必是单射；B)必非单射；C)必是满射；D)必非满射。10­11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 2 7)设 V、U、W 是数域 K 上的线性空间，又设j、y、g是都是 V 上的线性变换，则下列结论正确的有____个。B ①Ker()KerKerjyjy+Í+；②Im()ImImjyjy+Í+；③KerKer()jgjÍ；④ImIm()jjgÍ。A)1；B)2；C)3；D)4。8)与数域K 上的线性空间V{(,),K} abab=Î同构的线性空间有____个。C ①W{(,),K} ababab=-+Î；②W,K ab ab ababìüæöïï=Îíýç÷+-èøïïîþ；③{} W(,),K ababab=++Î；④(){} W,,,K aabab=ΠA)1；B)2；C)3；D)4。二、填空题（32 分. 共 8 题,每题 4 分） 1) 设向量组 12 ,,..., raaa线性无关， 123 23... r rbaaa=+++， 213 3... r rbaaa=+++，…… ， 121 2...(1) rr rbaaa-=+++-， 1121 2...(1) rrr rrbaaaa+-=+++-+，则 121 ,,..., rbbb+ ____（选填“线性相关”，“线性无关”，“无法确定”）。线性相关2) 设 I： 12 ,,..., saaa和 II： 12 ,,..., tbbb是线性空间 V中两个向量组，向量组 I可由向量组 II线性表示，且 (I)(II) rr=，则向量组 I与向量组 II____（选填“必等价”，“未必等价”），s 与t____（选填“必相等”，“未必相等”）。必等价，未必相等3) 设 1234 ,,,aaaa都是 4 维列向量， 1234 (,,,) Aaaaa=。已知齐次线性方程组 0 AX=的通解是 (0,1,1,0) k¢。以 * A 表示 A的伴随矩阵，则齐次线性方程组 * 0 AX=解空间的维数是____，而____是它的一个基础解系。3， 124 ,,aaa或 134 ,,aaa 4)设 n 元齐次线性方程组 0 Ax=和 0 Bx=分别有 , lm 个线性无关解向量，且 lmn+，则()0 ABx+= ____（选填“必有”，“未必有”）非零解。必有 5) 设 12 {,,...,} nxxx， 12 {,,...,} nhhh是V 的两组基， 1212 (,,...,)(,,...,) nn Phhhxxx=。又若 V中向量a在基 12 {,,...,} nhhh下的坐标向量是X ，则a在基 12 {,,...,} nxxx下的坐标向量是____。PX10­11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 3 6) 设 1 V ， 2 V 都是 n 维线性空间 V 的子空间，且 121 dim(V+V)dimV1=+，则 212 dimVdim(VV)-=I ____。1 7) 设j是V 到 U的线性映射，且 12312 010 (,,)(,) 001jxxxhhæö=ç÷èø，其中 123 {,,}xxx， 12 {,}hh分别是 V和 U的一组基，则Kerj=____，Imj=____。 1 () Lx，U 或 12 (,) Lhh 8) 设 01 10 A-æö=ç÷èø，由XAX a定义了 21 R´上的线性变换j，则j的不变子空间是____。0， 21 R´三、 (6 分) 设向量组 123 ,,aaa是齐次线性方程组 0 AX=的一个基础解系。问下列向量组 123 2aaa++， 123 22aaa++， 123aaa++是否也是齐次线性方程组 0 AX=的一个基础解系？为什么？解：（法一） 123123123123 121 (2,22,)(,,)211 121aaaaaaaaaaaaæöç÷++++++=ç÷ç÷èø， 121 2110 121=，故不是基础解系。（法二）因 121 21123 121 ræöç÷=ç÷ç÷èø，表明它们线性相关，故不是基础解系。（法三）因 123123123 23()(22)aaaaaaaaa++=++-++，故不是基础解系。四、 (10分) 设j是数域K上n维线性空间V的线性变换，a是V中一个向量，且满足 1 ()0 nja-¹， ()0 nja=。证明： 1 ,(),...,() najaja-是 V的一组基，并求j在这组基下的表示矩阵。证明：因 1 ,(),...,() najaja-的个数恰为 V的维数，因此要证其为 V的基，仅需证其线性无关即可。事实上，设 1 011 ()...()0 n n kkkajaja--+++=，（*）将 1 nj-同时作用于（*），结合已知条件，得 1 0 ()0 n kja-=，又 1 ()0 nja-¹，故 0 0 k=。类似的，将 2 nj-， 3 nj-，…，j作用于（*），得 1 0 k=， 2 0 k=，… ， 2 0 n k-=。进而 1 1 ()0 n n kja--=，由 1 ()0 nja-¹，故 1 0 n k-=。10­11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 4j在 1 ,(),...,() najaja-下的表示矩阵 0 10 10æöç÷ç÷ç÷ç÷èøOO。五、 (10 分) 设 A是 n 阶方阵且 () rAr=。求证 2 AA=的充要条件是存在nr´矩阵S 和rn´矩阵 T ，使得AST=， r TSI=， ()() rSrTr==。证明：充分性。直接计算 2 ASTSTSITA===。必要性。对矩阵 A，存在可逆矩阵 P，Q 使得 (,0) 00 rr r II APQPIQæöæö==ç÷ç÷èøèø。令 0 r I SPæö=ç÷èø， (,0) r TIQ=，可证 P，Q 即为所求。显然，S 和T 分别是nr´矩阵和rn´矩阵，且因 P，Q 可逆，所以 ()() rSrTr==。下证 r TSI=。由 2 AA=，得 2 000 rrr III PQPQAAPQæöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø。（*）因 P，Q 可逆，所以 000 rrr III QPæöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。（**）（法一）（10 级尹思文）将（*）等式两边分别左乘 1 (,0) r IP-，右乘 1 0 r I Q-æöç÷èø，得(,0) 0 r rr I IQPIæö=ç÷èø，即 r TSI=。（法二）（10级李宏生，王邑良，吉子龙，夏宇静）由（**）， (,0)(,0)(,0) 000000 rrrrrr rrrr IIIIII TSIQPIQPIIæöæöæöæöæöæö====ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø。（法三）（**）式 (,0)(,0)(,0)(,0) 00000 rrr rrrr IIITSTS IQPITSIIæöæöæöæöæö====ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø，故 r TSI=。必要性。（法四）（10 级李荣刚）将 A 视为线性变换j在 n 维线性空间 V的某基下的表示矩阵，由同构对应，则 2jj=。设j的秩为 r， 1 {,...,} rnxx+是Kerj的一组基，将扩成 11 {,...,,,...,} rrnxxxx+为 V 的一组基，则 1 (),...,() rjxjx线性无关，且可证 11 {(),...,(),,...,} rrnjxjxxx+是 V的一组基。事实上，因为 V 的维数是 n，因此只要证明 11 {(),...,(),,...,} rrnjxjxxx+线性无关即可。设10­11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 5 1111 ()...()...0 rrrrnn kkkkjxjxxx+++++++=，将j作用于式子两边，结合 2jj=，得 111111 (()...()...)()...()0 rrrrnnrr kkkkkkjjxjxxxjxjx+++++++=++=，由 1 (),...,() rjxjx的线性无关性，得 1 ...0 r kk===，进而 1 ...0 rn kk+===。因此 1111 ((),...,(),,...,)((),...,(),,...,) 0 r rrnrrn Ijjxjxxxjxjxxx++æö=ç÷èø。这说明存在可逆矩阵 P，使得 1 0 r I PAP-æö=ç÷èø。令 1 ,(,0) 0 r r I SPTIP-æö==ç÷èø，则 AST=， r TSI=， ()() rSrTr==。（法五）（10级才子佳，高旸，，胡丹青，黄步跃，林琴等）因 2 AA=，所以存在可逆矩阵 P，使得 1 0 r I APP-æö=ç÷èø。另 1 ,(,0) 0 r r I SPTIP-æö==ç÷èø，则 AST=， r TSI=， ()() rSrTr==。主要错误：法二、法三中TSI=没有证明。六、 (10 分) 设 V 是数域 K 上 n 维线性空间， ,js是 V 上线性变换，且 2 0j=， 2 0s=， V idjssj+=，其中 V id 是 V上恒等变换。求证：（1）VKerKerjs=Å；（2）V必是偶数维线性空间。证明：（1）对 VaÎ， ()()ajsasjabg=+=+。由已知 2 0j=， 2 0s=，得 2 ()(())0jbjsa==， 2 ()(())0sgsjg==，即 KerbjÎ， KergsÎ。说明VKerKerjs=+。此外，对 KerKerajsÎI， ()0,()0jasa==。由 V idjssj+=，得 ()()0ajsasja=+=。说明KerKer0js=I。综上，即得VKerKerjs=Å。（2）（法一）设 () rrj=，则dimKer nrj=-。由（1），若 12 {,,...,} rxxx是