数学物理方程-第二章练习题

.......热传导方程HeatEquations齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院[e-mail]齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31/49目录...1热传导方程及其定解问题的导出...2初边值问题的分离变量法...3柯西问题...4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性...5解的渐近性态齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32/49...1热传导方程及其定解问题的导出...2初边值问题的分离变量法...3柯西问题...4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性...5解的渐近性态齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.1........一均匀细杆直径为l,假设它在同一截面上的温度是相同的,杆的表面和周围介质发生热交换,并服从规律dQ=k1(u−u1)dSdt.假设杆的密度为ρ，比热为c,热传导系数为k,试导出此时温度u满足的方程.解:取杆轴为x轴,考察杆位于[x,x+∆x]的微段的热量平衡.单位时间从侧面流入的热量为dQ1=−k1(u−u1)πl∆x;单位时间从x处,x+∆x处流入的热量为dQ2=−k(x)∂u∂x(x,t)·πl24,dQ3=k(x+∆x)∂u∂x(x+∆x,t)·πl24,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.1........一均匀细杆直径为l,假设它在同一截面上的温度是相同的,杆的表面和周围介质发生热交换,并服从规律dQ=k1(u−u1)dSdt.假设杆的密度为ρ，比热为c,热传导系数为k,试导出此时温度u满足的方程.解:取杆轴为x轴,考察杆位于[x,x+∆x]的微段的热量平衡.单位时间从侧面流入的热量为dQ1=−k1(u−u1)πl∆x;单位时间从x处,x+∆x处流入的热量为dQ2=−k(x)∂u∂x(x,t)·πl24,dQ3=k(x+∆x)∂u∂x(x+∆x,t)·πl24,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/49热传导方程及其定解问题的导出故单位时间流入(x,x+∆x)的热量为dQ=dQ1+dQ2+dQ3=∂∂x(k(x)∂u∂x)x∗·πl24∆x−k1(u−u1)πl∆x.综上,从时刻t1到t2流入位于[x1,x2]杆段的热量为∫t2t1∫x2x1[∂∂x(k(x)∂u∂x)πl24−k1(u−u1)πl]dxdt.而在这段时间内[x1,x2]杆段内各点温度从u(x,t1)变到u(x,t2),其吸收热量为∫x2x1cρ(u(x,t2)−u(x,t1))πl24dx=∫t2t1∫x2x1πl24cρ∂u∂tdxdt.根据热量守恒,并注意到x1,x2,t1,t2的任意性,得所求方程为∂u∂t=1cρ∂∂x(k(x)∂u∂x)−4k1cρl(u−u1).齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.2........试直接推导扩散过程所满足的微分方程.解:设N(x,y,z,t)表示在时刻t,(x,y,z)点处扩散物质的浓度,D(x,y,z)为扩散系数,在无穷小时间段dt内,通过无穷小曲面块dS的质量为dm=−D(x,y,z)∂N∂ndSdt.因此从时刻t1到t2流入区域Ω(Γ为Ω的表面)的质量为∫t2t1ΓD(x,y,z)∂N∂ndSdt=∫t2t1$Ωdiv(DgradN)dxdydzdt.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.2........试直接推导扩散过程所满足的微分方程.解:设N(x,y,z,t)表示在时刻t,(x,y,z)点处扩散物质的浓度,D(x,y,z)为扩散系数,在无穷小时间段dt内,通过无穷小曲面块dS的质量为dm=−D(x,y,z)∂N∂ndSdt.因此从时刻t1到t2流入区域Ω(Γ为Ω的表面)的质量为∫t2t1ΓD(x,y,z)∂N∂ndSdt=∫t2t1$Ωdiv(DgradN)dxdydzdt.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/49热传导方程及其定解问题的导出另外,从时刻t1到t2,Ω中该物质的增加为$Ω[N(x,y,z,t2)−N(x,y,z,t1)]dxdydz=$Ω∫t2t1∂N∂tdtdxdydz.根据质量守恒,并注意到Ω,t1,t2的任意性,得所求方程为∂N∂t=∂∂x(D∂N∂x)+∂∂y(D∂N∂y)+∂∂z(D∂N∂z).齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.3........砼(混泥土)内部储藏着热量,称为水化热,在它浇筑后逐渐放出,放热速度和它所储藏的水化热成正比.以Q(t)表示它在单位体积中所储的热量,Q0为初始时刻所储的热量,则dQdt=−βQ,其中β为正常数.又假设砼的比热为c,密度为ρ,热传导系数为k,求它在浇筑后温度u满足的方程.解:设砼内点(x,y,z)在时刻t的温度为u(x,y,z,t),显然dQdt=−βQ,Q(0)=Q0,⇒Q(t)=Q0e−βt.易知t1到t2时刻,砼内任一区域Ω中的热量的增加等于从Ω外部流入Ω的热量及砼中的水化热之和,即齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.3........砼(混泥土)内部储藏着热量,称为水化热,在它浇筑后逐渐放出,放热速度和它所储藏的水化热成正比.以Q(t)表示它在单位体积中所储的热量,Q0为初始时刻所储的热量,则dQdt=−βQ,其中β为正常数.又假设砼的比热为c,密度为ρ,热传导系数为k,求它在浇筑后温度u满足的方程.解:设砼内点(x,y,z)在时刻t的温度为u(x,y,z,t),显然dQdt=−βQ,Q(0)=Q0,⇒Q(t)=Q0e−βt.易知t1到t2时刻,砼内任一区域Ω中的热量的增加等于从Ω外部流入Ω的热量及砼中的水化热之和,即齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/49热传导方程及其定解问题的导出$Ω∫t2t1cρ∂u∂tdtdxdydz=$Ω(Q(t1)−Q(t2))dxdydz+∫t2t1$Ω[∂∂x(k∂u∂x)+∂∂y(k∂u∂y)+∂∂z(k∂u∂z)]dxdydzdt=−$Ω∫t2t1dQdtdtdxdydz+∫t2t1$Ω[∂∂x(k∂u∂x)+∂∂y(k∂u∂y)+∂∂z(k∂u∂z)]dxdydzdt.注意到t1,t2及Ω的任意性,有∂u∂t=1cρ[∂∂x(k∂u∂x)+∂∂y(k∂u∂y)+∂∂z(k∂u∂z)]+βcρQ0e−βt.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.4........设一均匀的导线处在周围为常数温度u0的介质中,试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程∂u∂t=kcρ∂2u∂x2−k1Pcρω(u−u0)+0.24i2rcρω,其中i及r分别表示导体的电流及电阻,P表示横截面的周长,ω表示横截面的面积,而k1表示导线对于介质的热交换系数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/49热传导方程及其定解问题的导出解:与第1题类似,取导线轴为x轴,在时刻t1到t2介于[x1,x2]的导线段的热量增加为:从导线的其它部分流入的热量,从侧面流入的热量以及电流通过[x1,x2]这段产生的热量之和,即∫t2t1∫x2x1∂∂x(k∂u∂x)ωdxdt−∫t2t1∫x2x1k1P(u−u0)dxdt+∫x2x1∫t2t10.24i2rωdxdt.因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为∂u∂t=kcρ∂2u∂x2−k1Pcρω(u−u0)+0.24i2rcρω.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.5........设物体表面的绝对温度为u,此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼(Stefan-Boltzmann)定律正比于u4,即dQ=σu4dSdt.假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导,又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数f(x,y,z,t),求此时该物体热传导问题的边界条件.解:考察边界上的面积微元dS.在dt时间内,经边界微元流出的热量为(k为热传导系数)−k∂u∂ndSdt.由该微元辐射到外部介质的热量为σu4dSdt.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/49热传导方程及其定解问题的导出.Example1.5........设物体表面的绝对温度为u,此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼(Stefan-Boltzmann)定律正比于u4,即dQ=σu4dSdt.假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导,又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数f(x,y,z,t),求此时该物体热传导问题的边界条件.解:考察边界上的面积微元dS.在dt时间内,经边界微元流出的热量为(k为热传导系数)−k∂u∂ndSdt.由该微元辐射到外部介质的热量为σu4dSdt.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/49热传导方程及其定解问题的导出外部介质通过该微元辐射到物体表面的热量为σf4dSdt.根据热量平衡有−k∂u∂ndSdt=σu4dSdt−σf4dSdt.故所求边界条件为−k∂u∂n=σ(u4−f4).齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312/49...1热传导方程及其定解问题的导出...2初边值问题的分离变量法...3柯西问题...4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性...5解的渐近性态齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/49初边值问题的分离变量法.Example2.1........用分离变量法求下列定解问题的解:ut=a2uxx(t0,0xπ),u(0,t)=ux(π,t)=0(t0),u(x,0)=f(x)(0xπ).解:设u(x,t)=X(x)T(t),则T′+λa2T=0,X′′+λX=0,X(0)=X′(π)=0.⇒λk=(k+12)2,k=0,1,2,...齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/49初边值问题的分离变量法.Example2.1........用分离变量法求下列定解问题的解:ut=a2uxx(t0,0xπ),u(0,t)=ux(π,t)=0(t0),u(x,0)=f(x)(0xπ).解:设u(x,t)=X(x)T(t),则T′+λa2T=0,X′′+λX=0,X(0)=X′(π)=0.⇒λk=(k+12)2,k=0,1,2,...齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/49初边值问题的分离变量法u(x,t)=∞∑k=0Cke−(k+12)2a2tsin(k+12)x.由初始条件知f(x)=∞∑k=0Cksin(k+12)x⇒Ck=2π∫π0f(ξ)sin(k+12)ξdξ.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314/49初边值问题的分离变量法.Example2.2........用分离变量法求解热传导方程的初边值问题:ut=uxx(t0,0x1),u(x,0)={x,0x≤12,1−x,12x1,u(0,t)=u(1,t)=0(t0).齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/49初边值问题的分离变量法解:u(x,t)=∞∑k=1Cke−k2π2tsinkπx.Ck=2∫120ξsinkπξdξ+∫112(1−ξ)sinkπξdξ=4k2π2sinkπ2=0,k=2n,4(−1)n(2n+1)2π2,k=2n+1,n=0,1,2,...⇒u(x,t)=∞∑n=04(−1)n(2n+1)2π2e−(2n+1)2π2tsin