用数学归纳法证明不等式课件--选修4-5

第二节用数学归纳法证明不等式【课标要求】1．会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式．2．了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用．3．会用数学归纳法证明贝努利不等式．【核心扫描】1．利用数学归纳法证明不等式是本节考查的重点．2．本节常与不等式的性质、放缩法等综合考查.1．贝努利不等式：设x－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则.2．贝努利不等式的更一般形式：当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；当α为实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．自学导引(1＋x)n1＋nx1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证()．A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4解析由题意知n≥3，∴应验证n＝3.故选C.答案C基础自测2．对于正整数n，下列说法不正确的是()．A．32≥1＋2nB．0.9n≥1－0.1nC．0.9n＜1－0.1nD．0.1n≥1－0.9n解析由贝努利不等式∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)，∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，故A正确．当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．答案C3．设p(k)：1＋12＋122＋…＋12k≤12＋k(k∈N)，则p(k＋1)为()．A．1＋12＋122＋…＋12k＋12k＋1≤12＋k＋1B．1＋12＋122＋…＋12k＋12k＋1≤12＋k＋1C．1＋12＋13＋…＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≤12＋k＋1D．上述均不正确解析分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案A4．用数学归纳法证明an＋bn2≥a＋b2n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n＝k时不等式ak＋bk2≥a＋b2k(*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式同乘________．解析对比k与k＋1时的结论可知，两边只需同乘a＋b2即可．答案a＋b2题型一用数学归纳法证明绝对值不等式【例1】设x1，x2，…，xn为实数，证明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|.[思维启迪]在n＝k成立证明n＝k＋1也成立时，注意应用绝对值不等式性质．证明(1)∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，∴n＝2时命题成立．(2)设命题n＝k(k≥2)时成立，即|x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|，于是，当n＝k＋1时，|x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1|≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|.即当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对于任意n∈N*命题都成立．规律方法使用数学归纳法要完成两步．第一步要验证“基础”；第二步要证明“递推”，二者缺一不可．关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归纳法的灵活和魅力所在，要根据不同问题加强练习，逐步掌握．【变式1】证明不等式|sinnθ|≤n|sinθ|(n∈N＋)．证明(1)当n＝1时，上式左边＝|sinθ|＝右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即有|sinkθ|≤k|sinθ|.当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)|＝|sinkθcosθ＋coskθ·sinθ|≤|sinkθcosθ|＋|coskθ·sinθ|≤|sinkθ|＋|sinθ|≤k|sinθ|＋|sinθ|＝(k＋1)|sinθ|.即当n＝k＋1时不等式成立．由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．题型二用数学归纳法证明不等式【例2】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1(n∈N*)．(1)求证{an－2n}为等差数列；(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)．证明：1＋1b11＋1b21＋1b3…1＋1bn＞n＋1(n∈N*)．[思维启迪]由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法证明要证的结论即可．解(1)由an＋1＝an＋2n＋1得(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1，因此{an－2n}成等差数列．(2)an－2n＝(a1－2)＋(n－1)＝n－1，即an＝2n＋n－1，bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.下面用数学归纳法证明32·54·76·…·2n＋12n＞n＋1.当n＝1时，左端＝32＞2＝右端，不等式成立；假设n＝k时不等式成立，即32·54·76·…·2k＋12k＞k＋1，当n＝k＋1时，32·54·76·…·2k＋12k·2k＋32k＋1＞k＋1·2k＋32k＋1＝2k＋324k＋1＝k＋24k2＋12k＋94k2＋12k＋8＞k＋2.因此不等式32·54·76·…·2n＋12n＞n＋1对于一切n∈N*都成立．规律方法同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出后再证明．【变式2】设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋1an(n＝1，2，…)．(1)证明：an＞2n＋1对一切正整数n都成立；(2)令bn＝ann(n＝1,2,3，…)，判断bn与bn＋1的大小，并说明理由．解(1)当n＝1时，a1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＞2k＋1成立．则当n＝k＋1时，a2k＋1＝a2k＋1a2k＋2＞2k＋3＋1a2k＞2(k＋1)＋1.∴n＝k＋1时，ak＋1＞2k＋1＋1也成立．综上，由数学归纳法可知，an＞2n＋1对一切正整数n都成立．(2)bn＋1bn＝an＋1nann＋1＝1＋1a2nnn＋1＜n＋122－14n＋12＜1.故bn＋1＜bn.题型三数学归纳法与数列的综合问题【例3】在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn＜512.[思维启迪]由题意可得如下信息：an，bn，an＋1成等差数对任意n都成立．n＝1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出通项公式，然后用数学归纳法证明之．第二问列出式子发现用裂相法与放缩法即可证明．比用数字归纳法简便．(1)解由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1bk＝(k＋2)2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512.n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn＜16＋1212×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋1212－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．规律方法这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出，有时是根据条件从前n项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明．【变式3】数列{an}满足a1＝1，且8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1)，bn＝1an－12(n≥1)．(1)求b1，b2，b3，b4的值；(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.解(1)a1＝1，故b1＝11－12＝2，a2＝78，故b2＝178－12＝83，a3＝34，故b3＝134－12＝4，a4＝1320，故b4＝203.(2)由(1)可推测bn＝2n＋43，可用数学归纳法给以证明(略)，由bn＝1an－12得anbn＝12bn＋1＝2n＋46＋1＝2n－1＋53，∴Sn＝132n－12－1＋5n＝2n＋5n－13.方法技巧数学归纳法在不等式中的应用【示例】(2009·山东高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＞n＋1成立．[思路分析](1)问关键利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)解决；(2)问先求出bn的通项，再结合数学归纳法证明．解(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，a2a1＝b，即bb－1b＋r＝b，解得r＝－1.(2)当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n＋12n＞n＋1.①当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n＝k时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12k＞k＋1，则当n＝k＋1时，2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32k＋1＞k＋1·2k＋32k＋1＝2k＋32k＋1，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1≥k＋2，即证2k＋32≥k＋1k＋2，由均值不等式可得：2k＋32＝k＋1＋k＋22≥k＋1k＋2成立，故2k＋32k＋1≥k＋2成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＞n＋1成立．方法点评本题考查数列的基本问题、等比数列的基础知识；考查数学归纳法证明不等式；考查分析问题、解决问题的能力.