消元法解线性方程组

消元法解线性方程组学校：青海师范大学院系：数学系专业：数学与应用数学班级：10B指导教师：邓红梅学号：20101611218姓名：梅增旺摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。关键字：线性方程组消元法求解Abstract:linearequationsinvariousbranchesofmathematics,naturalscience,engineeringtechnology,oftenencounteredinactualproduction,andtheunknownelementnumberandthenumberofequationscanbehundreds,soitisimportantinthetheory,itsapplicationisveryextensive.Thisarticleonthesolutionoflinearequationsbasedonadiscussion,mainlybymeansofeliminationmethod.Eliminationmethodisthegenerallinearequationsofeffectiveearlyinhighschool,everyonehasacontact,thebasicideaofeliminationmethodisthroughtheeliminationoftheequationsofdeformationintoeasytosolvewiththesolutionofequations.Keywords:eliminationmethodforsolvinglinearequations正文：我们主要探讨一下在复数域上用高斯（C.F.Gauss,1775--1855）消元法解线性方程组（以下我们统称线性方程组）。先梳理一下基本知识：1.一般地，含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组axaxaxbaxaxaxbaxaxaxbnnnnmmmnnm11112211211222221122（1）称为一个n元线性方程组。其中系数aij，常数bj都是已知数，xi是未知量（也称为未知数）。2．利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。线性方程组（1）的矩阵表示形式为：AX=B其中A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211，X=nxxx21，B=nbbb21称A为方程组（1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵，将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵][BA=mmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211称为方程组（1）的增广矩阵。3.矩阵的初等变换：(1)交换矩阵的两行（列）；(2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；(3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。4.阶梯形矩阵，它的特点是：（1）自上而下的各行中，第一个非零元素左边零的个数随行数增加而增加；（2）矩阵的零行（如果有的话）都在矩阵的下面。5.定理若用初等行变换将增广矩阵][BA化为][DC，则AX=B与CX=D是同解方程组。下面给出线性方程组的解法：用初等行变换将方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵（最简形），再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组的解。这种方法被称为高斯消元法，具体步骤：（1）写出线性方程组的增广矩阵。（2）用行的初等变换将增广矩阵化为行最简形（阶梯形）。在化的过程中，如果出现第一类情况，则原方程无解。不然的话，必然得到一个行最简形矩阵。(a).如果它属于第二类，则原方程组有唯一解。(b).如果它属于第三类，则原方程组有无穷多解，选好自由变量，然后用一般解形式表示原方程组的全部解。注：第一类：有某一行，它的最右边的一个元不为零，该行的其余元都为零，以这个矩阵为增广矩阵的线性方程组中，该行的方程不能成为等式，所以方程组无解。见下例（1）.第二类：不属于第一类，并且非零行的个数等于未知量的个数，这时方程组有唯一解。见下例（2）123.第三类：如果不属于第一类，并且非零行的个数小于未知量的个数，这时取自由变量，得方程组有无穷多解。见下例（3）。下面举例具体说明例（1）：8222635363432143214321xxxxxxxxxxxx解：写出增广矩阵82-21263-51-361-1-31第一行乘以（-3）加到第二行；第一行乘以（-2）加到第三行，得4-045-012-0810-061-1-31第二行乘以21减到第三行，得2000012-0810-061-1-31从最后一个矩阵可得对应的阶梯形线性方程组为:201281063224321xxxxxx由此知属于第一类，因此这个线性方程组无解。（2）这类方程组很常见，我们用一般消去法逐一说明。高斯消去法的使用类似第一三类，读者可自行参阅得到。下面我们分几种情况来讨论。1m=n=1这种情况非常简单，不采用消元法，具体采用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1几个步骤即可得到方程的解。即：凡是一元一次方程都可划成形如：ax+b=0，或ax=-b,则得解x=-ab.例如：求解方程31313321xxx。按上面法则得到3（x+1）-18-2x=6+2x-23x+3-18-2x=6+2x-23x-2x-2x=6-2-3+18-x=19x=-192m=n=2这种情况有两种方法来消元。1.代入消元：由方程组的一个方程求出一个未知数对其他未知数的表达式，而把这个表达式带入其他方程，所获得的方程组与原方程组同解。设有一组一元一次方程，把每个方程的未知项移到方程左边，已知项移到方程右边，合并同类项以后得到如下形式的方程：'''axcbyaxcby(1)假设四个系数a,b,a’,b’中有一个不为0，例如a不为0，由第一个方程求出x对y的表达式，获得方程组'''0xcybxaabyc（2），与(1)同解。这时，把由第一个方程得到的x的表达式代入第二个方程，得'''xcbyabycaabyc（3）也与（1）同解，此时，只需求'''cbyabyca这个只含未知数y的一元一次方程，然后将解得的y的值代入abycx就可得到x的值，即解得了未知数x、y。同理，我们也可由x写出y的表达式进行代入求解。注：实际解题中我们选取表达式较为简单的量代入。例：解方程组321313y1-x2xyxx由第一个方程求出32yx，代入第二个方程，即求出710y，再将y的值代入第一个方程得78x，即方程的解71078yx2.加减消元法设k是一个不等于0的数，h是一个任意的数，两个方程A=0，B=0(1)的方程组与下面的方程组同解hA+kB=0，A=0(2)凡是（1）组的解，即使A和B等于零，显然使hA和kB也等于零，因而满足方程（2）。反之，凡是（2）的解，即使A和hA+kB等于零，即使kB等于零，但k不等于零，故B等于零，因而满足方程组（1）。还是以方程组'''axcbyaxcby(1)为对象。只要b不为0，原方程与下面的方程同解0)'''()('0axcybxabcbyaxbcby（2）但方程组（2）的第二个方程不再含有y，并且可以写成0)''('ab'bccbxba。如果ab’-ba’不等于零，我们便能求出x的一个而且唯一的值。把这个值代入方程组（2）的第一个方程，就求出y的一个而且唯一的值，这样就得到方程唯一的一组解''''baabbccbx，''''baabcaacy我们也可以这样替代方程组（1）的同解方程组（a≠0）,直接求出y的值：0)'''()('0axcybxaacbyaxacby此方程组的第二个方程不再含有x且可以写成0)''('ab'caacyba）（由此可以解出y同上的解，同理可解得方程组同上的解。注：一般解题中先观察两个方程，对应系数有倍数关系多采用加减消元法。例：解方程组321313y1-x2xyxx首先，对方程进行移项，含未知数的项移到左边，已知项移到右边，然后去分母，得4223yxyx其次，第一个方程乘以2，然后分边对应相加，消去y，得87x从而78x将x代入任意一个方程解得710y我们也可以消去x,解出y代入任意一个方程解得x.注：也可以由克拉默(Gramer)公式获得。3m=n≧3的情况m=n≧3这种情况可由m=n=2的情况推广得到，代入消元法主要是层层代入，然后又层层代回；加减消元法可推广得到贝儒（Bezout）法，这里不再详述.（3）.解线性方程组xxxxxxxxxxxxxxxx1234123412341234215320342221（2）解：先写出增广矩阵][BA，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即][BA=11122241130235111211第二行减第一行；第一行乘以（-3）加到第三行；第一行乘以2加到第四行，得13340577401114011211第二行加到第三行；第四行减第二行，得22200666001114011211第三行乘以（31）加到第四行，得00000666001114011211上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为6661412434324321xxxxxxxxx将最后一个方程乘16，再将x4项移至等号的右端，得143xx将其代入第二个方程，解得212x再将xx23,代入第一个方程组，解得2141xx因此，方程组（2）的解为1212143241xxxxx（3）其中x4可以任意取值。由于未知量x4的取值是任意实数，故方程组（2）的解有无穷多个。由此可知，表示式（3）表示了方程组（2）的所有解。表示式（3）中等号右端的未知量x4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3）称为方程组（2）的一般解，当表示式（3）中的未知量x4取定一个值（如x4=1），得到方程组（2）的一个解（如x112，21，0，1），称之为方程组（2）的特解。注意:自由未知量的选取不是唯一的，如也可以将x3取作自由未知量。如果将表示式（3）中的自由未知量x4取一任意常数k，即令x4=k，那么方程组（2）的一般解为kxkxxkx432112121，其中k为任意常数。用矩阵形式表示为kkkxxxx121214321=