北京中考数学--几何、二次函数综合题压轴题解析汇总

1北京中考数学---几何、二次函数综合题压轴题解析汇总25、（2007•北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=错误!未找到引用源。∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=错误!未找到引用源。∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．考点：等腰梯形的性质。专题：压轴题。分析：（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是．（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD=CE．所以四边形DBCE是等边四边形．解答：解：（1）回答正确的给（1分）（如：平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°，∴∠A=∠BOD，四边形DBCE是等对边四边形；（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．证法一：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．因为∠DCB=∠EBC=错误!未找到引用源。∠A，BC为公共边，所以△BCF≌△CBG，所以BF=CG，因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，所以∠BDF=∠BEC，可证△BDF≌△CEG，所以BD=CE所以四边形DBCE是等对边四边形．2证法二：如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．因为∠DCB=∠EBC=错误!未找到引用源。∠A，BC为公共边，所以△BDC≌△CFB，所以BD=CF，∠BDC=∠CFB，所以∠ADC=∠CFE，因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，所以∠ADC=∠FEC，所以∠FEC=∠CFE，所以CF=CE，所以BD=CE，所以四边形DBCE是等对边四边形．说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立．只有次证法，只给（1分）．点评：解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题25、（2008•北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DE的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及错误!未找到引用源。的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及错误!未找到引用源。的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出错误!未找到引用源。的值（用含α的式子表示）．3考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。专题：压轴题。分析：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）．解答：解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH=PG，DH=GF，∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，∠ABC=60°，∴∠DCG=120°，∴∠PCG=60°，∴PG：PC=tan60°=错误!未找到引用源。，∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CG．∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，∵AD∥FG，∴∠GFP=∠HDP，∵∠GPF=∠HPD，4∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBC=60°，∴∠HDC=∠GBC，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，∴∠HCG=120°，∵CH=CG，PH=PG，∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，∴错误!未找到引用源。；（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），∴∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α），∴错误!未找到引用源。=tan（90°﹣α）．点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用．24、（2009•北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EC2．判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD=6，tanB=错误!未找到引用源。，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FC1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．5考点：二次函数综合题。专题：探究型。分析：（1）①说明△P1EC按要求旋转后得到的△G1EF全等，再结合∠P1CE=∠G1FE=90°去说明；②按照要求画出图形，由图形即可得出答案；（2）①当点P1在线段CH的延长线上时，结合已知说明CE=4，且由四边形FEGH是正方形，得CH=CE=4，再根据题设可得G1F=x．P1H=x﹣4，进而可得y与x之间的函数关系式；②当点P1在线段CH上时，同理可得FG1=x，P1H=4﹣x，进而可得y与x之间的函数关系式；③当点P1与点H重合时，说明△P1FG1不存在，再作综合说明即可．本题第二问较难．学生不明确点P1的几种位置情况，因而不能讨论．本题考查图形变换和动点问题，而且代数和几何结合，有一定难度．注意的问题：一是函数关系式不止一种，二是自变量的取值范围要正确画出．（1）观察图形可知重叠三角形A′B′C′是边长为2的等边三角形，则这个三角形底边上的高为错误!未找到引用源。，所以重叠三角形A′B′C′的面积=错误!未找到引用源。；（2）由折叠的性质和已知可知：A′D=AD=m，B′D=BD=8﹣m，所以A′B′=B′C′=8﹣2m，A′B′边上的高=错误!未找到引用源。（4﹣m），所以重叠三角形A′B′C′的面积=错误!未找到引用源。×（8﹣2m）×错误!未找到引用源。（4﹣m）=错误!未找到引用源。（4﹣m）2；当D为AB边中点时“重叠三角形”不存在，故m＜4．而当D在AB的错误!未找到引用源。点处，即AD=错误!未找到引用源。时，点B′和点C′恰在矩形DEFG边上，符合题意；当AD＜错误!未找到引用源。时，点B′和点C′就在矩形DEFG外了，这与已知不符，故m≥错误!未找到引用源。，因此m的取值范围为错误!未找到引用源。≤m＜4．解答：解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC．∵∠G1EF=90°﹣∠P1EF，∠P1EC=90°﹣∠P1EF，∴∠G1EF=∠P1EC．∴△G1EF≌△P1EC．∴∠G1FE=∠P1CE．∵EC⊥CD，∴∠P1CE=90°，∴∠G1FE=90度．∴∠EFH=90度．∴∠FHC=90度．∴FG1⊥CD．②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．6（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC．∵AD=6，AE=1，tanB=错误!未找到引用源。，∴DE=5，tan∠EBC=tanB=错误!未找到引用源。．可得CE=4．由（1）可得四边形EFCH为正方形．∴CH=CE=4．①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，∵FG1=CP1=x，P1H=x﹣4，∴S△P1FG1=错误!未找到引用源。×FG1×P1H=错误!未找到引用源。．∴y=错误!未找到引用源。x2﹣2x（x＞4）．②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，∵FG1=CP1=x，P1H=4﹣x，∴S△P1FG1=错误!未找到引用源。×FG1×P1H=错误!未找到引用源。．∴y=﹣错误!未找到引用源。x2+2x（0＜x＜4）．③当P1点与H点重合时，即x=4时，△P1FG1不存在．综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=错误!未找到引用源。x2﹣2x（x＞4）或y=﹣错误!未找到引用源。x2+2x（0＜x＜4）．点评：本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．725、（2010•北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。专题：压轴题。分析：（1）利用题中的已知条件，计算出∠ACB=∠ABC，所以AB=AC（等角对等边）；由等腰三角形的性质知∠BAD=∠BDA=75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；（2）根据旋转的性质，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是是等腰梯形，根据已知条件证明△KCD≌△BAD（SAS），再证明△DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得∠ABC与∠DBC的度数并求出比值．解答：解：（1）①当∠BAC=90°时，∵∠BAC=2∠ACB，∴∠ACB=45°，在△ABC中，∠ABC=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC（等角对等边）；②当∠DAC=15°时，∠DAB=90°﹣15°=75°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=75°，∴∠DBA=1