2020高考数学第五章平面向量

第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝03.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是()A．若a∥b，则a＝bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|答案：D2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线答案：D3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD―→等于()A．－BC―→＋12BA―→B．－BC―→－12BA―→C．BC―→－12BA―→D．BC―→＋12BA―→答案：A4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．若菱形ABCD的边长为2，则|AB―→－CB―→＋CD―→|＝________.解析：|AB―→－CB―→＋CD―→|＝|AB―→＋BC―→＋CD―→|＝|AD―→|＝2.答案：22．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是()A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB―→＝DC―→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵AB―→＝DC―→，∴|AB―→|＝|DC―→|且AB―→∥DC―→，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB―→∥DC―→且|AB―→|＝|DC―→|，因此，AB―→＝DC―→.③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等相量：方向相同且长度相等．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA―→＋OB―→＋OC―→＋OD―→等于()A．OM―→B．2OM―→C．3OM―→D．4OM―→解析：选D因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以OA―→＋OC―→＝2OM―→，OB―→＋OD―→＝2OM―→，所以OA―→＋OB―→＋OC―→＋OD―→＝4OM―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD中，AB―→＝－2CD―→，M为BC的中点，则AM―→＝()A.12AB―→＋12AD―→B.34AB―→＋12AD―→C.34AB―→＋14AD―→D.12AB―→＋34AD―→解析：选B因为AB―→＝－2CD―→，所以AB―→＝2DC―→.又M是BC的中点，所以AM―→＝12(AB―→＋AC―→)＝12(AB―→＋AD―→＋DC―→)＝12AB―→＋AD―→＋12AB―→＝34AB―→＋12AD―→.3．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且AP―→＝m＋211AB―→＋211BC―→，则实数m的值为()A．1B.13C.911D.511解析：选DAP―→＝m＋211AB―→＋211BC―→＝m＋211AB―→＋211(AC―→－AB―→)＝mAB―→＋211AC―→，设BP―→＝λBN―→(0≤λ≤1)，则AP―→＝AB―→＋λBN―→＝AB―→＋λ(AN―→－AB―→)＝(1－λ)AB―→＋λAN―→，因为AN―→＝13AC―→，所以AP―→＝(1－λ)AB―→＋13λAC―→，则m＝1－λ，211＝13λ，解得λ＝611，m＝511，故选D.[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC―→＝3CD―→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO―→＝xAB―→＋(1－x)·AC―→，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0解析：选D设CO―→＝yBC―→，∵AO―→＝AC―→＋CO―→＝AC―→＋yBC―→＝AC―→＋y(AC―→－AB―→)＝－yAB―→＋(1＋y)AC―→，∵BC―→＝3CD―→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈0，13，∵AO―→＝xAB―→＋(1－x)AC―→，∴x∈－13，0.2．设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．解：(1)证明：∵AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3a－3b，∴BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB―→.∴AB―→，BD―→共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb同向，∴存在实数λ(λ＞0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，k－λ＝0，λk－1＝0，解得k＝1，λ＝1或k＝－1，λ＝－1，又∵λ＞0，∴k＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB―→＝λAC―→，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．设向量a，b不共线，AB―→＝2a＋pb，BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B因为BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，所以BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB―→，BD―→共线．设AB―→＝λBD―→，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.2．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE―→＝23AD―→，AB―→＝a，AC―→＝b.(1)用a，b表示向量AD―→，AE―→，AF―→，BE―→，BF―→；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使AD―→＝12AG―→，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG―→＝a＋b，AD―→＝12AG―→＝12(a＋b)，AE―→＝23AD―→＝13(a＋b)，AF―→＝12AC―→＝12b，BE―→＝AE―→－AB―→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，BF―→＝AF―→－AB―→＝12b－a＝12(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE―→＝23BF―→，又因为BE―→，BF―→有公共点B，所以B，E，F三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2AC―→＋CB―→＝0，则OC―→＝()A．2OA―→－OB―→B．－OA―→＋2OB―→C.23OA―→－13OB―→D．－13OA―→＋23OB―→解析：选A依题意，得OC―→＝OB―→＋BC―→＝OB―→＋2AC―→＝OB―→＋2(OC―→－OA―→)，所以OC―→＝2OA―→－OB―→.2．(2019·石家庄质检)在△ABC中，点D在边AB上，且BD―→＝12DA―→，设CB―→＝a，CA―→＝b，则CD―→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b解析：选B∵BD―→＝12DA―→，∴BD―→＝13BA―→，∴CD―→＝CB―→＋BD―→＝CB―→＋13BA―→＝CB―→＋13(CA―→－CB―→)＝23CB―→＋13CA―→＝23a＋13b.3．在四边形ABCD中，AB―→＝a＋2b，BC―→＝－4a－b，CD―→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析：选C由已知，得AD―→＝AB―→＋BC―→＋CD―→＝