专题03三角函数与解三角形2020年高考数学理二轮专项复习

专题03三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad以及度与弧度的互化：3.57)π180(rad1,π180;rl．3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角的顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边上任意一点P(x，y)，｜OP｜＝r(r≠0)，则;cos;sinrxryxytan4．三角函数的定义域与值域：函数定义域值域y＝sinxR[－1，1]y＝cosxR[－1，1]y＝tanx},2ππ|{ZkkxxR5．三角函数线：正弦线MP，余弦线OM，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：cossintan,1cossin227．诱导公式：任意角的三角函数与角2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k·2π±”形式，记忆规律为“将看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法．2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值，3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值．4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式．【例题分析】例1(1)已知角的终边经过点A(－1，－2)，求sin，cos，tan的值；(2)设角的终边上一点),3(yP，且1312sin，求y的值和tan．解：(1)5||OAr，所以.2tan,55cos,55252sinxyrxry(2),13123sin,3||22yyyOPr得13123022yyy，解得.3236tan,6xyy【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2(1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225°②sin(－3)cos4(2)已知cos＜0且tan＜0，那么角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(3)已知是第二象限角，求角2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2(1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos＜0，所以角终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上tan＜0，所以角终边在第二或第四象限中，所以角终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(是第二象限角，所以2k＋2π＜＜2k＋，(k∈Z)，所以,2ππ2π4ππkk)(Zk如下图3－1－3，可得2是第一象限或第三象限角，又4k＋＜2＜4k＋2，2是第三象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理；(2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad1°≈57.3°化为角度处理；(3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况．(4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练．如第一象限角：)(,2ππ2π2Zkkk，注意防止2π0的错误写法．例3(1)已知tan＝3，且为第三象限角，求sin，cos的值；(2)已知31cos，求sin＋tan的值；(3)已知tan＝－2，求值：①cossincossin2；②sin2＋sincos．解：(1)因为为第三象限角，所以sin＜0，cos＜01cossin3cossin22，得到.1010cos10103sin(2)因为031cos，且不等于－1，所以为第二或第三象限角，当为第二象限角时，sin＞0，,22cossintan,322cos1sin2所以324tansin当为第三象限角时，sin＜0，,22cossintan,322cos1sin2所以324tansin综上所述：当为第二象限角时，324tansin，当为第三象限角时，324tansin【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号)(3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan＝－2，所以.cos2sin,2cossin①原式1cos3cos3coscos2coscos4，②原式＝(－2cos)2＋(－2cos)cos＝2cos2，因为1cossincos2sin22，得到51cos2，所以52cossinsin2(法二)：①原式,112141tan1tan21cossin1cossin2②原式5214241tantantancossincossinsin22222【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用cossintan将切化弦，使得问题得以解决；(2)1的灵活运用，也可以利用sin2＋cos2＝1，cossintan，将弦化为切．例4求值：(1)tan2010°＝______；(2))6π19sin(＝______；(3))2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan(2)216πsin)6ππsin()6ππ3sin(619πsin)6π19sin(或:216πsin)6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(【评析】“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ为第二象限角，正弦值为正．(3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos(sinsin1sincoscossinsin)2πsin(cos·sin【分析】2π32π3，将看做锐角，借助图3－1－2看出2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得cos)2π3sin(，同理可得sin)2πcos(，所以原式cscsin1sinsincos)cos(sin.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5已知角的终边经过点)5πsin,5πcos(，则的值为()A．5πB．5π4C)(,π5πZkkD．)(,π25π4Zkk解：因为05πsin,05πcos，所以点)5πsin,5πcos(在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan5πcos5πsintanxy，因为角的终边在第二象限，所以)π25π4tan(5π4tan)5ππtan(tank，所以，)(,π25π4Zkk，选D．例6化简下列各式：(1)若为第四象限角，化简2sin1tan(2)化简2tan1cos(3)化简)4πcos(4sin21解：(1)原式＝|cos|cossin|cos|tancostan2，因为为第四象限角，所以cos＞0，原式＝sincoscossin，(2)原式＝|cos|coscos1coscossincoscoscossin1cos222222当为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上时，cos＜0，所以原式1coscos，当为第一、四象限角或终边在x轴正半轴上时，cos＞0，所以原式1coscos.(3)原式|4cos4sin|)4cos4(sin4cos4sin212.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0，所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法：(1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2xx，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin±cos)2＝1±2sincos＝1±sin2的应用．例7扇形的周长为定值L，问它的圆心角(0＜＜)取何值时，扇形的面积S最大?并求出最大值．解：设扇形的半径为)20(Lrr，则周长L＝r·＋2r(0＜＜)所以44214421)2(2121ππ2,22222222LLLrrSLr．因为844244，当且仅当4，即＝2∈(0，)时等号成立．此时16812122LLS，所以，当＝2时，S的最大值为162L.练习3－1一、选择题1．已知32cos，角终边上一点P(－2，t)，则t的值为()A．5B．5C．55D．552．“tan＝1”是“Zkk,4ππ2”的()A．充分而不必要条件B．必要不而充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知点P(sin－cos，tan)在第一象限，则在[0，2]上角的取值范围是()A．)4π5,π()4π3,2π(B．)4π5,π()2π,4π(C．)2π3,4π5()4π3,2π(D．)π,4π3()2π,4π(4．化简170cos10sin21()A．sin10°＋cos10°B．sin10°－cos10°C．cos10°－sin10°