薛定谔方程数值解

计算物理薛定谔方程数值解薛定谔方程数值解薛定谔方程定态方程的矩阵解法含时方程的解法非线性薛定谔方程解法薛定谔方程的有限元方法√薛定谔方程(1/1)薛定谔方程UTHtiˆˆˆ单粒子222222222,ˆ2zyxUti多粒子2222222122,ˆ2nnnnNnnnzyxUti定态薛定谔方程(势能不显含时间)EUHertrNnnniEtˆ2ˆ,)(),(122/一维的单粒子EUxH)ˆdd2(ˆ222√定态方程的矩阵解法(1/9)实对称矩阵的对角化定理：如果A是实对称矩阵，那么存在正交矩阵R，使得√),,,(diag00211TnnARR雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵RK，逐步将A对角化，即选择RK，令,3,2,1,1TKRARAKKKK取A0A，使得当K时，AKdiag(1,2,,n)本征值：1,2,,n本征向量：TT1T2T1KKKRRRRV定态方程的矩阵解法(2/9)矩阵TKR对角化22实对称矩阵A√定态方程的矩阵解法(3/9)对角化nn实对称矩阵Acossinsincos}{)1()1()()1()1()()(KiqKiqKiqKipKipKipKijKvvvvvvvV本征向量√定态方程的矩阵解法(4/9)例：计算33实对称矩阵A的本征值和本征向量210121012AA0A，选p1,q2选p1,q3第9次√定态方程的矩阵解法(5/9)久期方程方法例：计算实对称矩阵的本征值问题久期方程和本征值210121012A本征向量√定态方程的矩阵解法(6/9)定态薛定谔方程的矩阵解法有限差分法例：一维无限深势阱定态薛定谔方程的差分格式差分方程的实对称矩阵和本征值问题√定态方程的矩阵解法(7/9)波函数有限差分法的步骤将定态薛定谔方程转化为差分格式写出差分方程的实对称矩阵，并对角化√定态方程的矩阵解法(8/9)希耳伯特空间的方法例：一维无限深线性势阱希耳伯特空间的基矢nmmnnxxxnxnnxnx11d)()(,even,2sinodd,2cos)(哈密顿算符和矩阵元)evenodd,(),(,)()1(162even),(odd),(,42dˆ2,)dd(2dd2ˆˆˆ22222/)1(2222112222222mnnmmnfmnmnnxHHFfxfxFxxUTHmnnmmnnm√定态方程的矩阵解法(9/9)对角化(以为能量单位)，结果分析2/2表象的表述在是}{)(}{,)()(nnnnnxcCxcx步骤选择适当的表象(即基矢)，推导哈密顿矩阵元计算哈密顿矩阵，并对角化√含时方程的解法(1/10)非本征态的时间演化特点：初始态系统的本征态EHUTHtiˆ,)ˆˆ(ˆ解法1：有限差分方法解多维扩散方程一维含时薛定谔方程的差分格式kikikikikikikikikikikikikikikikikikikikiaUbKkaUbaUbNiaUbdbdai,R1,I,I1,I1,R11,I1,I11,I,I1,R,R1,R1,I11,R1,R11,R222IR)2(1,,0,)2()2(,,1,)2(2,4,利用k时的值，求k1时的值要求解线性方程组——隐式的√含时方程的解法(2/10)边界条件束缚态：0非束缚态：假设初始态是束缚态，x足够大，在T内，x左右边界处的001,I0,I1,R0,RkNkkNk方程组的矩阵形式：kkkkXBXA11T21221121T,I1,I2,I1,I,R1,R2,R1,RkNkNkNkNkNkNkkkNkNkkkNkNkkkX√含时方程的解法(3/10))(21,222,411111111111112221211211kikikikikiNiiNNNNkUUUUdUbbbdababababaababababA√含时方程的解法(4/10))(21,222,41111111111111222121121kikikikikiNiiNNNNkUUUUdUbbbdababababaababababB√含时方程的解法(5/10)例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数随时间的演化wllx初始态(即k0)：谐振子的基态0,02122/10122/12222NiNxNixiee由k0的差分方程组，求k1时刻的波函数方程01XBXA未知量T12112121111112111NNNNNNX已知量T02012020100102010NNNNNNX√含时方程的解法(6/10)w220,,22,421121121122112112112UUbbbdaaaaaaaaakiNiiA√含时方程的解法(7/10)w22,0,22,421121121122112112112UUbbbdaaaaaaaaakiNiiB√含时方程的解法(8/10)由k1的差分方程组，求k2时刻的波函数方程12XBXA未知量}{22iX已知量BAX,},{11i由k2的差分方程组，求k3时刻的波函数……n维含时薛定谔方程的差分格式：NnNn的矩阵√含时方程的解法(9/10)解法2：(希耳伯特空间的方法)将初始态在基矢上展开势能函数不含时(Q表象，基矢是un)写成矩阵形式，和H都是矩阵当QH时，un是哈密顿量的本征态，H是对角阵√含时方程的解法(10/10)当QH时，un不是哈密顿量的本征态，H非对角例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数随时间的演化wllx初始态：谐振子的基态2/4/12/122xeI基矢：无限深势阱的能量本征函数)](2sin[2/1lxlnln常数cnodd,d)](2sin[2/4/12/12/122nxelxlnlcllxn√非线性薛定谔方程解法(1/10)非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程))(,||),(,||2222rffbaftrafti定态的：含时的：实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解希耳伯特空间的迭代法(定态)：非线性项线性化√非线性薛定谔方程解法(2/10)例：求解fx2的一维G-P方程(0xl)方程：baxx)||d(222基矢：)/sin()/2()(2/1lxnlxn哈密顿矩阵元√非线性薛定谔方程解法(3/10)l5,a5√非线性薛定谔方程解法(4/10)有限差分的迭代法(一维定态)：非线性项线性化√非线性薛定谔方程解法(5/10)例：求解fx2的一维G-P方程(0xl)迭代方程1211122211]|)(|2[knknknnknknbdxadfd系数矩阵222|)(|2111111,00nknkkkkkkkkkxadfdcccccBBBA√非线性薛定谔方程解法(6/10)有限差分法(一维含时)二元非线性方程组的迭代法：非线性问题线性化(关键：Jocobi矩阵J，初值要接近解)√非线性薛定谔方程解法(7/10)多元非线性方程组(关键：Jocobi矩阵J，初值接近解)√非线性薛定谔方程解法(8/10)例：解非线性方程09.4720006.1sin)1.0(8105.0)cos(333222132121xexxxxxxxxJocobi矩阵20cos)1.0(1622)sin()sin(3212132132132112321322323333222111xxxxxxxxxxxxxexexxxxxxxxxxfffffffffJ初值T001.01.01.0}{ixX迭代√非线性薛定谔方程解法(9/10)有限差分法(一维含时))(),,(,||22xfftxafixtNnNkNnNnNkNnknNnkNnNnkNnknknknnNNnknNnknNnNNnNnNkNnNnkNnNnNknNnknNnNkNnknNnkNnknknNnNkNnNnkNnnNNnknNnknkNnknkNnknknkNnknkNnkNnkNnkNnkNnknknknknaaafdddcacacacacacacacacaaafdcdcacacdccccccccccccccc21212112322,121,112102182181217217121621612152151221212222,29431,1211011921182211811172117121622161152151314213121111)(811)(81)(81)211(2121,81,81,41,41,81,81,)411(,)411(,)(83)(81)(81211,21,81,83,210)()()()()()(√非线性薛定谔方程解法(10/10)有限差分法(一维含时)(续)kkkknknknkknknmknmknmkNnknNnmkNnmnkNnknNnmkNnmnkNnmnknNnmkNnmnknNnmkNnNnmkNnNnmNnmNnmknmnknmnmnnmknknkNnknkNnknknkNnknkNnkNnkNnkNnkNnknknknknkknknkknkFJGFFFGJJJcccccccccccccccccGcccccccccccc