13导数习题

1.3导数习题选自前课件【提升例题】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R，(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．.13思考提高片参见下*【提升例题】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R，(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x2或x－2时，f′(x)0；当－2x2时，f′(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42a5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解.导数的极值常与函数的单调性、导数联合考查，是高考的常考内容，常常三者结合与含参数的讨论等知识点相联系，综合考查．解决时可以以大化小分步解决，严格遵循解决极值问题和单调性的解题步骤，遇到该讨论时要进行合理、恰当地讨论．这种综合题在解决时要弄清思路，分步进行，切忌主次不分，讨论混乱．归纳方法：练1..函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如右图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[分析]通常给出函数的图象或与函数极值有关的命题形式，进行辨别和判断函数极值的存在情况．[解析]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.[答案]C练2.下列说法正确的是()A．若f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极小值B．若f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极大值C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)D．以上都不对[解析]A错，反例：f(x)＝x，f(x)≥f(0)＝0，因为0是区间[0，＋∞)的端点，所以f(0)不是f(x)的极小值；B错，反例：f(x)＝－x，f(x)≤f(0)＝0，同理f(0)不是极大值；C错，由极值定义知极大值不一定比定义域内的所有函数值都大．故选D.[答案]D2)(23nxmxxxf()()6gxfxx*思考：.已函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称．（Ⅰ）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值．解：（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……①由f（x）=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g（x）=f′（x）+6x=3x2+（2m+6）x+n;而g（x）图象关于y轴对称，所以-=0，所以m=-3,3262m代入①得n=0．于是f′（x）＝3x2-6x=3x（x-2）．由f′（x）0得x2或x0,故f（x）的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′（x）0得0x2,故f（x）的单调递减区间是（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）＝3x（x-2）,令f′（x）＝0得x=0或x=2．当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（-∞．0）0（0,2）2（2,+∞）f′（x）+0－0＋f（x）↑极大值↓极小值↑由此可得：当0a1时，f（x）在（a-1,a+1）内有极大值f（0）=-2,无极小值；当a=1时，f（x）在（a-1,a+1）内无极值；当1a3时，f（x）在（a-1,a+1）内有极小值f（2）＝－6，无极大值；当a≥3时，f（x）在（a-1,a+1）内无极值．综上得：当0a1时，f（x）有极大值－2，无极小值，当1a3时，f（x）有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f（x）无极值．当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：已知：设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．思考提高：[解析](1)f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值527＋a极小值a－1由上表可以看出，f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1.由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．尝试完成作图情形。N型曲线（）结合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值527＋a0，即a－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，该交点在(1，＋∞)上；当f(x)的极小值a－10，即a1时，它的极大值也大于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，该交点在(－∞，－13)上．综上可知，当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．变式：一个交点；两个呢？[点拨]利用极值判断方程根的问题，实际上是利用连续函数的一个原理，即若连续函数f(x)在区间(a，b)内，存在f(a)·f(b)0，则f(x)与x轴至少有一个交点．导数与不等式恒成立的解题方法利用导数证明不等式恒成立，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，然后求出函数在给定区间上的最值，问【点评】题得解.解：（I）∵（），∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)+0-g(t)递增极大值1-m递减∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m0所以m的取值范围为m1)(tg)(tg)(tg思考讨论：3()31fxaxx1,1x()0fxa【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使之恒成立，只要在上求f（x）最小值即可。对于总有成立，则=▲。1,1x22()333(1)fxaxax010a()31fxxmin()20fx020a22()333(1)0fxaxax()fxmin()(1)202fxfaa当时，，所以，不符合题意，舍去当时，即单调递减，，舍去。030a1()0fxxa111aa()fx11,a1,1a11,aamin1()min(1),()fxffa(1)400411()120faafaa()fx1,1xmin()(1)202fxfaa当时(1)当时在和上单调递增，在上单调递减。所以时在上单调递减，，不符合题意，舍去。(2)当111aa综上可知：a=4.321P32A3,131,51fxxaxxaRxfxfxxfxRa、课本页组62、已知函数若是函数的极值点，求在的最大值和最小值；若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围.32().1212.fxaxxbxabRgxfxfxfxgxgx(2010重庆）已知函数其中常数、，是奇函数求的表达式；讨论【变式训的单调性，并求在区间，上的最大值和练最小值】3.参考：.3,3-a)2(.1-;19;5)1.(2)1()5(ffa小大.34g(2)324)2g(2x31-g(x)2(.31-f(x)0b31-ag(x)-g(-x)1.3g(x)g(x)xxx323小大；，下略）可，恒成立。）由奇函数（