应用基本不等式求最值

应用基本不等式求最值江西师大附中黄润华一、复习回顾基本不等式：(当且仅当a=b时取“=”号)(当且仅当a=b时取“=”号)2ababab2222abab22,,2abRabab0,0,2ababab已知都是正数，（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值yx,yxyxyxP2yx241Sxyxy极值定理和定积最大，积定和最小4,2520,lglg.xyxyuxy例设为正实数，且求的最大值250,0,25102xyxyxyxy解：1010,10.xyxy25.xy当且仅当时，等号成立252025xyxy5,2.xy解得：lglglg()lg101.uxyxy15(0),2.yxxyx例已知证明：11(2)00,()()xxyxxxx当时，1(1)02,11.xyxxxxx证明：当时，当且仅当，即时，等号成立1(1)()2,1.()1()2,2.()xxxxyx由可知当且仅当时等号成立即二、应用基本不等式求最值一正,二定,三相等③必须有自变量值能使函数值取到=号.①各项必须为正;②含变数的各项和或积必须为定值;(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:二定三相等二、应用基本不等式求最值120,()3.xfxxxx若的最小值为；此时例1122120,()3.xfxxxx若的最大值为；此时-12-20x解：一正1212()32312fxxxxx1232.xxx当且仅当即时，等号成立正解:5225log,2.logxxx当且仅当即时，等号成立,0,02ababab时常用一不正二、应用基本不等式求最值225()2log(01).logfxxxx求函数的范围例22222552log22log225.loglogfxxxxx错解：201,log0.xx2222552log2(log)225.loglogfxxxxx225log25.logxx解:(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:变二不定,需形二、应用基本不等式求最值(310).1yxxxx函数的最小值为，此时例0,10.xx11(1)111yxxxx211.110.1xxx当且仅当即时，等号成立2(1)41.(1).1xfxxx求函数练的最小值习2312.(1).1xxfxxx求函数的最小值错解:(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:二、应用基本不等式求最值225.44xyx求函数的最小值例222254144xxyxx22144xx22214.4xx当且仅当时，等号成立(3)取不到等号时用函数单调性求最值:正解:1(2)yttt则min52,0,.2txy当即时,常三不等用单调性二、应用基本不等式求最值225.44xyx求函数的最小值例222254144xxyxx22144xx24,tx令下面题中的解法正确吗？为什么？.221,11,2121:;1,21122222xxxxxxxxx有最小值时即当且仅当解的最小值求时、已知.,2,4.4,4424:.4,32等号成立时即当且仅当原式有最小值解的最小值求、已知xxxxxxxxxx221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx错因：解答中两次运用基本不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错.解：三、典型题解析11,21,.5xyxyxy例已知正数满足求的最小值1142.xy即的最小值为正解：22322.yxyxxy当且仅当即时，等号成立122yxxy而222221yxmin322yyx11yyxxyx22yxxy23“1”代换法11,21,.5xyxyxy例已知正数满足求的最小值三、典型题解析阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方.1121.abRabab1.已知，，且，求的最小值12211,222)11()2(221221,,babababbaaRba，解法一：.2411,1222)11)(2(11,12的最小值为、及解法二：由baababbababaRbaba辨析.6911211,31,12,1211babababaabba又成立时，当且仅当解法三：正确解法“1”代换法.1112的最小值，求，且，已知babaRba正解：223当且仅当baab2即:ba2时，等号成立122baba而222221ab即此时223minzba11bbaaba22baab23正确解法“1”代换法.1112的最小值，求，且，已知babaRba构造和为定值，利用基本不等式求最值例6、已知，求的最大值10x21xx2221(1)xxxx20110xx2211.22xx2221.2xxx当且仅当即时，等号成立211.2xx的最大值为解：小结：基本不等式的应用1.基本不等式可证明简单的不等式2.应用基本不等式求最值的问题(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:一正,二定,三相等,0,02ababab一不正常用(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性求最值:,二不定需变形,三不等常用单调性2、(04重庆）已知则xy的最大值是。练习：1、当x0时，的最小值为，此时x=。21xx1)0,0(232yxyx613、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、)0,(55xRxxxy)101(lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5yxyx333664318DC利用基本不等式证明不等式21.,1(,),().ababxyRxyxyab已知是正数，且求证：()()abbxayxyxyabxyyx证明：22()bxayababyx.bxaybyxyxa当且仅当即时，等号成立2.0,0,0,0,4.abcdadbcbcadbdac已知求证：()()adbcbcadacadbcbdbcadbdacabcd证明：2222()()acdbcdabcabdabcd224.abcdabcdabcd4442222223.().abcabbcacabcabc证明：444444222222,,222abbcacabbcac证明：444444222222()()()2abbcacabbcac444abc2222222222222222,2,2abbcabcabacabcbcacabc2222222222()2()abbcacabcabcabc