华南师范大学1999-2000,2002-2011,2013-2014年数学分析考研真题

1999年华南师范大学数学分析一、计算1、已知极限lim𝑥→0∫𝑢2𝑑𝑢√𝛽+3𝑢𝑥0𝛼𝑥−sin𝑥=2,其中α，β为非零常数，求α，β的值；2、求积分∫ln⁡(𝑥+√1+𝑥2)𝑑𝑥;3、函数u=u(x)由方程组u=f(x,y,z),g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0所确定，求𝑑𝑢𝑑𝑥4、求积分I=∬𝑑𝑆√𝑥2+𝑦2+(𝑧+𝑎)2∑其中a0,∑是以原点为中心，a为半径的上半球面。二、1、设数列{𝑥𝑛}收敛且𝑥𝑛0(𝑛=1,2,·····)，求证：lim𝑛→∞√𝑥1𝑥2···𝑥𝑛𝑛=lim𝑛→∞𝑥𝑛；2、若𝑥𝑛0(𝑛=1,2,····)，且lim𝑛→∞𝑥𝑛+1𝑥𝑛存在，求证：lim𝑛→∞√𝑥𝑛𝑛=lim𝑛→∞𝑥𝑛+1𝑥𝑛；3、求lim𝑛→∞𝑛+1√𝑛！𝑛。三．计算函数z=1−(𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2)在点P(𝑎√2，𝑏√2)沿曲线𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1在此点的内法线方向上的导数。四、设f（x）在[a,b]上具有二阶连续导数，且f（a）=f（b）及|f’’(x)|≤M对xϵ[a,b],证明对一切x∈[a,b]有|f’(x)|≤𝑀2(𝑏−𝑎)。五、若𝑓𝑥，(𝑥,𝑦)在点(𝑥0，𝑦0)处存在，𝑓𝑦，(𝑥,𝑦)在点(𝑥0，𝑦0)处连续，证明𝑓(𝑥,𝑦)在(𝑥0，𝑦0)处可微。六、证明∑xn∞n=1(1−x)2在[0,1]上一致收敛。七、设C为位于平面xcos𝛼+𝑦cos𝛽+𝑧cos𝛾−1=0(cos𝛼,cos𝛽,cos𝛾为平面之法线的方向余弦）上并包围面积为S的按段光滑封闭曲线，求∮(𝑧cos𝛽−ycos𝛾)𝑑𝑥+(𝑥cos𝛾−𝑧cos𝛼)𝑑𝑦+(𝑦cos𝛼−𝐶𝑥cos𝛽)𝑑𝑧,其中C是依正方向进行的。八、求证广义积分∫sin𝑥2𝑥𝑝∞0𝑑𝑥在|p|1上收敛。2000年华南师范大点学数学分析一、填空题（3*10=30分）1.设_______lim_______,lim,,2,1,4sin)1(nnnnnnaanna则；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(,,,)(xxfRxxxxxxf3._____;1lim10dxxxnn4._________;)cos(sinlim10xxxx5.方程)(032为实常数ccxx在区间[0,1]中至多有_________个根；6._______;__________),1()(1122nnnnIInnaxdxI的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cossin0dutfdttfyxuyx是可微函数，则8.),(yxf设在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin2x10.曲线20,sin,cos33ttaytax的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(limxfx存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyfzyx所确定，其中f是可微函数，试证：xzyzxyxzzyx22)(222.四、（12分）求极限：)22211(lim222nnnnnnnn.五、（12分）已知a,b为实数，且1ab,证明不等式：abbalnln)1(1）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdyzdzdxyxdydzIS其中S是球面1222zyx的外侧.七、(10分)设0)(xun,在[a,b]上连续，n=1,2,…,1)(nnxu在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：1)(nnxu在[a,b]上一致收敛于f(x).2002年华南师范大学数学分析一、求极限：（1）lim𝑛→∞(1𝑎+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛),(𝑎1)(2)lim𝑥→0(1+𝑥2)1𝑥⁄二、证明：若f(x)在[a,+∞)上连续，且lim𝑥→∞f(x)=A(有限数)，则f(x)在[a,+∞)上一致力连续。三、求f(x)=lnx在x=1处的泰勒公式。四、证明：函数列{𝑓𝑛(𝑥)}在[a,b]上一致收敛于f(x)的充要条件是lim𝑛→∞𝑠𝑢𝑝𝑎≤𝑥≤𝑏|𝑓𝑛(𝑥)−𝑓(𝑥)|=0五、求函数f(x,y)=𝑥2+𝑦2在条件x+y-1=0下的条件极值。六、C是平面上任一条无重点、光滑的包含原点的封闭曲线，其方向是逆时针方向，计算∮𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥𝑥2+𝑦2𝐶七、求由球面𝑥2+𝑦2+𝑥2=𝑎2和圆柱面𝑥2+𝑦2=𝑎24所围成空间区域的体积。八、计算I=∫𝑒−𝛼𝑥−𝑒−𝛽𝑥𝑥+∞0𝑑𝑥,其中0αβ。九、设f(x)在有界闭区间[a,b]上连续，其值域为[c,d],则对任意入𝑛∈[𝑐,𝑑],𝑛=1,2,·····，必有子列{入𝑛ℎ}和𝑥0∈[𝑎,𝑏],使得limℎ→∞入𝑛ℎ=𝑓(𝑥0)。十、设𝑎𝑛0,且𝑎𝑛递减趋于零，证明∑(−1)𝑛∞𝑛=1𝑎1+𝑎2+········+𝑎𝑛𝑛收敛2003年华南师范大学数学分析一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(limnnn二、(12分)设.,11,11:),(2dxdyxyyxyxDD求积分三、(12分)证明1331nxnnx在[a,b]上一致收敛(其中，0ab+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=1331nxnnx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dyxdxyL333132，其中，12:22yxL，取逆时针方向。五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(limxfax和)(limxfx都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。六、(15分)设dxyxfa),(关于],[dcy一致收敛，而且，对于每个固定的],[dcy，f(x,y)关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[dcy一致地收敛于0.2004年华南师范大学数学分析1.(12分)设,,2,1,)11(nnann证明数列na严格单调增加且收敛。2.(12分)求函数0,00,1sin)(2xxxxxf的导函数，并讨论导函数的连续性。3.(12分)求幂级数nnnnxn)21(])1(2[1的收敛半径和收敛域。4.(12分)求函数xxxf0,00,1)(的Fourier级数，并由此求数列级数：121)1(51311nn的和。5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，f(a)≠f(b)，证明：存在),(ba，，使得ababfflnln))(()(。6.(15分))(0MBr是以),,(0000zyxM为心，r为半径的球，)(0MBr是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：dSzyxfdxdydzzyxfdrdMBMBrr)()(00),,(),,(2005年华南师范大学数学分析一、计算题（4*8=32分）1.求xxxx30sincos)cos(sinlim.2.求dxx3sec.3.求2222)0,0(),(limyxyxyx.4.求Lyxydxxdy224.其中10,)1(222RRyxL：,取逆时针方向。二、证明题（3*9=27分）1.证明：对)(21,,2babaeeeRba；2.设0limnna，证明：0lim21naaann；3.设f(x)在(0,1)上连续，)(lim)(lim10xfxfxx，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.三、讨论题（2*8=16分）1.讨论级数31213121312131)2(1)12(161514131211nn的敛散性。2.设0,0，讨论dxxx0sin的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。2006年华南师范大学数学分析1.(15分)假设)(lim30xfx存在，试证明：)(lim)(lim300xfxfxx.2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。3.(15分)假设),2,1)((nxun在[a,b]上连续，级数1)(nnxu在(a,b)上一致收敛，试证明：（i）1)(nnau,1)(nnbu收敛；(ii)1)(nnxu在[a,b]上一致收敛。4.(15分)假设)0(0)0(),(2222222yxyxyxyxyxf,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。5.(15分)计算曲面积分dxdyzdzdxydydzxIs222，其中s为锥面)0(222hzzyx所示部分，方向为外侧。2007年华南师范大学数学分析1.(15分)证明数列nn2收敛，并求其极限.2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x).(1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(f；(2).(10分)只假定)0(f存在，证明0)0(f.3.(15分)求积分：,2,1,0,sin20ndxxn.4.(15分)判别函数列),(,1)(22xxnxxfn的一致收敛性.5.(15分)设1222zyx，求xz和22xz.6.(15分)利用202dxex和分部积分法求dxexax)1(1202，其中a0.7.(20分)设L是平面区域的边界曲线，L光滑。u(x,y)在上二阶连续可微，用格林公式证明：dsnudxdyyuxuL)(2222.其中n是L上的单位外法向量，nu是u沿n方向的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数)(xf在[0,1]上连续，且)0(f0，证明瑕积分)1(,)0()(10pdxxfxfp.当1p2时收敛，p2时发散.9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[x，有.0)(limnxfn证明：.0)(limxfx2008年华南师范大学数学分析一.(15分)设.0lim,10,lim,01nnnnnnuaauuu证明二.(15分)设RS为有界集，证明必存在数列.suplim,SxSxnnn使三.(15分)设为无理数为有理数xxxxxxf,,)(2(1)证明若0x，则f在x处不连续；(2)计算)0(f.四.(15分)设n为自然数，求不定积分xdxxInncos的递推公式，并计算xdxxcos3.五.(20分)(1)设]23,0[,2sin2)(1xxnxxsnnn，证明).1(),1()(lim1ssxsx并求(2)证明函数项级数xxnncos)cos1(1在x=0的邻域U(