2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课件

三角函数解三角形第四章第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数高考概览1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.吃透教材夯双基填一填记一记厚积薄发[知识梳理]1．角的概念(1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所成的图形．旋转(2)角的分类按旋转方向不同分类正角：按逆时针方向旋转而成的角负角：按顺时针方向旋转而成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．[温馨提示](1)两个重要概念：要会判断角所在的象限，能写出终边相同的角的集合．如：①－520°角所在的象限为②终边在直线y＝－x上的角的集合是．α＋k·360°，k∈Z第三象限．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}(2)两个注意点：①“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角可表示为，第一象限的角为，小于90°的角包括锐角、负角、零角．②角的集合表示形式不是唯一的，如：{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}＝{β|β＝2kπ＋7π3，k∈Z}．{α|0°α90°}{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}2．弧度制(1)1弧度的角长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．用字母rad表示，经常省略不写．(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.半径长lr(3)角度与弧度的换算①180°＝rad；②1°＝rad；③1rad＝.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝，扇形的面积为S＝＝.ππ180180π°|α|r12lr12|α|r2[温馨提示](1)1弧度的角的大小与所取圆的半径大小无关．在同一个式子中角度制和弧度制不能混用．(2)弧长公式中α的单位是弧度，l与r的单位要统一．如：弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为，面积为.46π3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝．yxyx(x≠0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．正弦线，余弦线和正切线．[温馨提示](1)一个易错点：已知角终边上一点坐标求三角函数值时，r＝|OP|0.如：已知角α终边过点(a,2a)(a≠0)，则角α的余弦值是.(2)一个应用：三角函数线在比较大小中的应用．如：若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.当0απ2时，tanααsinα.55或－55提示：在单位圆中作出正弦线，余弦线，正切线．如图，可以看出MP＋OMOP，即sinα＋cosα1，由S扇形OAPS△OAT得12r2α12OA·AT，即：αAT＝tanα，又在⊙O中AP︵MP，即αsinα，故有：tanααsinα.[小题速练]1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．[答案]C2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)[解析]与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．[答案]C3．已知角α的终边与单位圆交于点－45，35，则tanα＝()A．－43B．－45C．－35D．－34[解析]根据三角函数的定义，tanα＝yx＝35－45＝－34，故选D.[答案]D4．若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角[解析]∵α是第二象限角，∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．[答案]C5．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为()A.π3B.2π3C.3D.2[解析]设圆半径为R，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R.∴圆弧长为3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3.[答案]C考点突破提能力研一研练一练考点通关考点一角的概念及集合表示——基础考点(1)若α是第三象限角，且cosα20，则α2是第________象限角．(2)终边在直线y＝3x上的角的集合是________．[思路引导](1)写出α的范围→求α2的范围→确定α2所在象限(2)写出终边在y＝3xx0上的角→表示出终边落在直线上角的集合[解析](1)∵α是第三象限角，∴2kπ＋πα2kπ＋3π2(k∈Z)，则kπ＋π2α2kπ＋3π4(k∈Z)．当k＝2n(n∈N)时，2nπ＋π2α22nπ＋3π4，不满足cosα20，舍去．当k＝2n＋1(n∈N)时，2nπ＋π＋π2α22nπ＋π＋3π4，满足cosα20，∴α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为αα＝π3＋kπ，k∈Z.[答案](1)四(2)α|α＝π3＋kπ，k∈Z(1)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk的范围；③然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝kπ＋β，k∈Z}；[跟踪演练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C2．设集合M＝xx＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4×180°＋45°，k∈Z，则两集合的关系是()A．N⊆MB．M＝NC．MND．M∩N＝∅[解析]因为M＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)·45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：MN.[答案]C考点二扇形的弧长和面积公式——冷考点已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导](1)利用弧长公式求．(2)寻求周长、半径R及圆心角α的关系，用其中两个量表示扇形面积．[解](1)设弧长为l，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α·C2＋α2＝C22α·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.解法二：扇形周长C＝2R＋L，面积S＝12LR＝12R(C－2R)＝－R2＋12CR＝－R－C42＋C2160RC2，仅当R＝C4，即C＝4R时，扇形的面积S最大，此时C＝4R＝2R＋L，L＝2R，由L＝2R得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12LR.在公式的选择上以简单、计算量小为原则，如本例中解法二比解法一计算量小．[跟踪演练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2B．4C．6D．8[解析]由S＝12×4×R2＝2，得R＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案]C考点三三角函数的定义及应用——偶考点角度解读：任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．角度1：利用定义求三角函数值(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B．－32C.12D.32(2)设角α终边上一点P(－4a,3a)(a0)，则sinα的值为________．[思路引导]点P的坐标→求r＝x2＋y2→根据定义写出三角函数值[解析](1)由点P(－8m，－6sin30°)在角α的终边上且cosα＝－45，知角α的终边在第三象限，则m0，又cosα＝－8m－8m2＋9＝－45，所以m＝12.故选C.(2)由x＝－4a，y＝3a，知r＝x2＋y2＝－4a2＋3a2＝5|a|.又a0，所以r＝－5a.所以sinα＝yr＝3a－5a＝－35.[答案](1)C(2)－35角度2：三角函数值符号的判定若sinα·tanα0，且cosαtanα0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析]由sinα·tanα0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由cosαtanα0，可知cosα，tanα异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．[答案]C角度3：三角函数线的应用函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．[思路引导]真数大于0→解三角不等式→单位圆中正弦线→看图得结果[解析]∵3－4sin2x0，∴sin2x34，∴－32sinx32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．[答案]kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[跟踪演练]1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα的值为()A.45B．－45C.35D．－35[解析]因为点A的纵坐标yA＝45，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35.[答案]D2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45[解析]设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t0时，cosθ＝55；当t0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.[答案]B名师引领拓视野思一思悟一悟素养达成三角函数定义及应用中的创新题型素养解读：三角函数与其他知识相结合命题，是