函数单调性的概念

1.3.1单调性与最大（小）值第一课时函数单调性的概念问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123知识探究（一）yxo考察下列两个函数:()fxx2()(0)fxxx（1）；(2)xyo思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？x1＜x2f(x1)＜f(x2)思考3：如何用x与f(x)来描述上升的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取x1,x2思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数在区间D上是增函数”？()fx()fx12,xx1x2x1()fx2()fx)(xf对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是增函数.知识探究（二）考察下列两个函数:()fxx2()(0)fxxx（1）；(2)1()fx2()fx()yfxxyoxoy思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？思考2:如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2f(x1)＞f(x2)在给定区间上任取x1,x2思考3:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数在区间D上是减函数”？()fx()fx12,xx1x2x1()fx2()fx)(xf对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是减函数.()fx()fx思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数的单调区间如何？注意：①函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。②讨论函数的单调性和书写函数的单调区间是两个不同的问题。③函数的单调区间是其定义域上的子集．1()fxx-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2例1下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f（x）是增函数还是减函数.解：y＝f（x）的单调区间有[－5，－2），[－2，1）[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上是减函数，在[－2，1），[3，5）上是增函数.作图是发现函数单调性的方法之一.理论迁移单调递增区间：单调递减区间：]1,(),1[xxxxf2)(2y21o的单调区间判断函数练习xxxf2)(:12变式2：y＝x2－ax＋4在[2，4]上是单调函数，求a的取值范围.）上是增函数。，（在区间证明函数xxf12)(.例2内任意是区间设),(,x21x)2(x)12()12()()(212121xxxxfxf0x,2121xxx0)()(21xfxf)()(21xfxf即),(12)(在区间则函数xxf证明：。两个实数，且x21x是增函数。（设条件）（论证结果）（下结论）.),0(1)(.3减函数？证明你的结论上是增函数还是在函数例xxf证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx0),0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上是减函数在函数xxf1－1－1Oxy1f（x）在定义域上是减函数吗？减函数取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-1＜1f（-1）＜f（1）例4:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.证明:12341.设(自变量);2.比(函数值);3.判(函数值大小关系);4.结(论)小结利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1.取数:任取x1，x2∈D，且x1x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方;4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.练习1.（1）作出函数y=|x-3|的图像并指出单调区间。（2）作出函数y=|x+2|－|x-1|的图像并写出单调区间。.()32.fxxR练习2证明函数在上是增函数证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）＝3x1＋2f（x2）＝3x2＋2f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0.23)(上是增函数在函数Rxxf设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则变式1：函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上是增函数还是减函数？并证明．21axx练习3：试讨论f(x)=,x(-1,1)的单调性.其中a01练习4：讨论函数f(x)=x+的单调性.xa问题：思考讨论函数f(x)=x+(a0)的单调性.x增函数减函数图象图象特征自左至右，图象上升.自左至右，图象下降.数量特征y随x的增大而增大.当x1＜x2时，y1＜y2y随x的增大而减小.当x1＜x2时，y1＞y2Oxyx1x2y1y2Oxyx2x1y1y2小结一：1．两个定义：增函数、减函数．2．两种方法：判断函数单调性的方法有图象法、定义法．课堂小结二函数单调性简单性质总结②函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，则f(x)＋g(x)在I上为增（减）函数。③函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数，则f(x)－g(x)在I上为增函数。④函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，且f(x)0,g(x)0，则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。①函数y=f(x)在区间I上为增（减）函数，则函数y=af(x)+b(a0)在区间I上为增（减）函数课堂小结三补充练习：22、已知函数f(x)=x+(2-a)x+5在［2，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围。21、函数y=x+bx+c在［0，＋∞）上是单调函数,则b的范围是（）A、b≥0B、b≤0C、b0D、b023、作出函数f(x)=-x+2|x|+3的图像并指出单调区间。f(x)0f(xy)f(x)f(y),f(2)1,f(x)f(x-2)35、已知的定义域为（，＋），且在其上为增函数，满足解不等式2f(x)11f(x-1)-f(x-1)0x4、已知函数是定义在［－，］上的增函数，且，求实数的取值范围。6、已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x+y)=f(x)+f(y),2且当x0时,f(x)0,f(1)=-3(1)求证:f(x)是R上的减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.