学案8 幂函数-函数与导数 2012高考一轮数学精品课件

学案8幂函数幂函数的意义一般地,函数y=叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.画幂函数图象的方法(1)列表、描点、连线法.(2)先画出幂函数在第一象限的图象,再利用幂函数的性质作出其余的图象.xα(α∈R)返回目录3.幂函数y=x,y=x2,y=x3,,的图象如图.4.幂函数y=x,y=x2,y=x3,,的性质21xyx1y21xyx1y返回目录y=xy=x2y=x3定义域RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R［0,+∞)R［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0)减,(0,+∞)增增增(-∞,0)减,(0,+∞)减定点(0,0)(1,1)(1,1)21xyx1y5.幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点.(2)如果α0,则幂函数的图象过原点,并且在区间［0,+∞)上为.(3)如果α0,则幂函数的图象在区间(0,+∞)上是.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象在y轴上方无限地逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数为,当α为偶数时,幂函数为.返回目录偶函数(1,1)增函数减函数奇函数返回目录考点一比较大小比较下列各组数的大小:.(-1.9),3.8(4)(4.1);)32(3)(-;)91(-8-(2);3.1(1)35332-52323287872525和和和和)6(【分析】(1)可利用y=的单调性比较.(2)可利用的单调性比较.(3)可利用y=的单调性比较.（4）可利用“搭桥”法比较.返回目录25x87x32x【解析】(1)函数y=在(0,+∞)上为减函数,又33.1,∴33.1.25x2525返回目录(2),函数y=在(0,+∞)上为增函数.又,则,从而.(3)函数y=在(0,+∞)上为减函数,又,∴8787)81-(8-87x91818787)()(9181.)6()6(-,)32)32(-32323232(8787)(89132x632.)6(-)32(-3232.(4.1)(3.8)(-1.9)0,(-1.9)1,13.81,01(4.1)(4)2535353323252525返回目录【评析】幂函数的单调性记忆错误是该题出错的常见原因，不能进行转化是该题无法做出的最大障碍.＊对应演练＊比较各组值的大小:(1)0.40.2,0.20.2,20.2,21.6;(2)a-b,ab,aa,其中0ab1;(3)(sinα)cosα与(cosα)sinα,其中α∈(0,).4返回目录(1)∵0.20,0.40.20,∴0.20.20.40.20.40=1.而120.221.6,∴0.20.20.40.220.221.6.(2)∵0a1且-bab,∴a-baaab.(3)∵α∈(0,),∴0sinαcosα1.∴(sinα)cosα(sinα)sinα(cosα)sinα,即(sinα)cosα(cosα)sinα.返回目录4返回目录考点二幂函数的定义当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为()A.m=2B.m=-1C.m=-1或m=2D.m≠【分析】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数小于零.251返回目录【解析】解法一:依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又∵函数在(0,+∞)上是减函数,∴-5m-30,即m,故m=-1舍去,∴m=2.故应选A.解法二:特值验证法,验证当m=-1,2时,是否满足题意即可.当m=2时,函数化为y=x-13符合题意;而当m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.故应选A.【评析】解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数必须为1,指数是实数即可,若有其他性质问题可依据幂函数的图象与性质进一步求解.53返回目录＊对应演练＊已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数.(1)因为f(x)是幂函数,故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.返回目录(2)若f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上的增函数,m2-m-1=1-5m-30,(3)若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,解得m=-,此时m2-m-1≠0,故m=-.(4)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,∴m=-,此时m2-m-1≠0,故m=-.则∴m=-1.54545252(5)若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.综上所述,当m=2或m=-1时,f(x)是幂函数;当m=-1时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数;当m=-时,f(x)是正比例函数;当m=-时,f(x)是反比例函数;当m=-1时,f(x)是二次函数.返回目录5452返回目录考点三幂函数的图象已知幂函数f(x)的图象过点(,2),幂函数g(x)的图象过点(2,).(1)求f(x),g(x)的解析式;(2)当x为何值时:①f(x)g(x);②f(x)=g(x);③f(x)g(x).【分析】先求幂函数的解析式,而后利用g(x),f(x)的图象,求x的取值范围.241【解析】(1)设f(x)=xα,∵其图象过(,2)点,故2=()α,解得α=2,∴f(x)=x2.设g(x)=xβ,∵其图象过点(2,),∴=2β,解得β=-2.∴g(x)=x-2.返回目录241241(2)在同一坐标系中,作出f(x)=x2与g(x)=x-2的图象,如图所示.由图象可知:f(x),g(x)的图象均过点(-1,1)与(1,1).∴①当x1或x-1时,f(x)g(x);②当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);③当-1x1且x≠0时,f(x)g(x).返回目录【评析】(1)求幂函数解析式的步骤:①设出幂函数的一般形式y=xα(α为常数);②根据已知条件求出α的值;③写出幂函数的解析式.(2)本题中g(x)的定义域为{x|x≠0},所以③中不包含x=0这一元素,故f(x)g(x)的解集不是{x|-1x1},易忽视x≠0而导致误解.返回目录返回目录＊对应演练＊已知幂函数的图象与x,y轴都无公共点,且关于y轴对称,求整数n的值并画出该函数的草图.3-2n-n2xy∵函数图象与x,y轴都无公共点,∴n2-2n-3≤0,∴-1≤n≤3.又∵n为整数,∴n∈{-1,0,1,2,3}.又图象关于y轴对称,∴n2-2n-3为偶数.∴n=-1,1,3.当n=-1和3时,n2-2n-3=0,y=x0图象如图(1)所示;当n=1时,y=x-4,图象如图(2)所示.返回目录返回目录考点四幂函数的性质已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F(x)=的奇偶性.【分析】先求m,然后根据奇偶性的定义判断.x3-2m-m2xf(x)b-f(x)a【解析】(1)∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3应为偶数,又∵f(x)在(0,+∞)上是单调减函数,∴m2-2m-30,即-1m3.又m∈Z,∴m=0,1,2.当m=0或2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去;当m=1时,m2-2m-3=-4,∴m=1,即f(x)=x-4.返回目录返回目录(2)F(x)=-bx3,∴F(-x)=+bx3.①当a≠0,b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数;③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数;④当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.【评析】本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类讨论的思想.利用偶函数及幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,结合m的取值范围,解出m值,从而求出f(x).在第(2)问中,当不能准确判断F(-x)与F(x)是否相等时,自然想到对a,b进行分类讨论.2xa2xa＊对应演练＊已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较f(-π)与f(-)的大小.(1)解法一:f(x)=其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位,再向上平移1个单位而得到,如图,所以该函数在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数.44xx54xx22222)2(1x44xx54xx22返回目录返回目录解法二:f(x)==1+(x+2)-2,设x1x2,x1,x2∈R,则f(x2)-f(x1)=［1+(x2+2)-2］-［1+(x1+2)-2］当x1,x2∈(-∞,-2)时,f(x2)-f(x1)0,y=f(x)在(-∞,-2)上是增函数,即增区间为(-∞,-2);当x1,x2∈(-2,+∞)时,f(x2)-f(x1)0,y=f(x)在(-2,+∞)上是减函数,即减区间为(-2,+∞).(2)∵图象关于直线x=-2对称,又∵-2-(-π)=π-2--(-2)=2-,∴f(-π)f(-).44xx54xx22222122212121222)(x2)(x4)x)(xx-(x2)(x1-2)(x12222返回目录1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.幂函数的定义域的求法可分5种情况,即①α为零;②α为正整数;③α为负整数;④α为正分数;⑤α为负分数.返回目录3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等类型的题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的数学思想和方法.