中考数学专题阿氏圆最值问题

1阿氏圆阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜A型相似(也叫母子型相似或美人鱼相似)+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。观察下面的图形，当P在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。如图，在△ABC的边AC上找一点D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△ABD∽△ACB。那么如何应用阿氏圆的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.(1)求12APBP的最小值为(2)求13APBP的最小值为2例题讲解：例1、如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若12CC＝65，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋23E′B的最小值．第28题图1第28题图2解：（1）把点A（4，0）代入y＝ax2＋(a＋3)x＋3，得16a＋4(a＋3)＋3＝0．解得a＝－34．∴抛物线的函数表达式为：y＝－34x2＋94x＋3．把x＝0代入上式，得y＝3．∴点B的坐标为（0，3）．由A（4，0），B（0，3）可得直线AB的函数表达式为：y＝－34x＋3．（2）根据题意，得OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，点P的坐标可表示为(m，－34m2＋94m＋3)．∴PE＝－34m2＋94m＋3……………………………………………………①∵△AEN∽△AOB，∴ANAB＝NEBO＝AE4．∴AN5＝NE3＝4－m4．∴AN＝54(4－m)，NE＝34(4－m)．∵△PMN∽△AEN，且12CC＝65，∴PNAN＝65．∴PN＝65AN＝65×54(4－m)＝32(4－m)．∴PE＝NE＋PN＝34(4－m)＋32(4－m)＝94(4－m)………………………...②由①、②，得3－34m2＋94m＋3＝94(4－m)．解得m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．∴m的値为2．（3）在（2）的条件下，m的値为2，点E（2，0），OE＝2．∴OE′＝OE＝2．如图，取点F(0，43)，连接FE′、AF．则OF＝43，AF＝42＋(43)2＝4310．第28题答案图∵OFOE′＝432＝23，OE′OB＝23，且∠FOE′＝∠E′OB，∴△FOE′∽△E′OB．∴FE′E′B＝23．∴FE′＝23E′B．∴E′A＋23E′B＝E′A＋FE′≥AF＝4310．∴E′A＋23E′B的最小值为4310．例2、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，（1）14APBP的最小值;（2）PABS的最小值.4例3、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使2PDPC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.5例4、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么23PDPC的最小值为；23PDPC的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个动点.那么12PDPC的最小值为；12PDPC的最大值为6突破练习1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，12APBP最小值为（）A、37B、6C、217D、42、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则22PAPC的最小值是．3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则32PBPD的最小值为．74、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）6．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．yx87.8、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求12APBP的最小值1中考专题---阿氏圆最值问题阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PAPBk（k0且k不等于1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆例、问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP,∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,∴AP+=AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+的最小值为．自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小为．拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，求2PA＋PB的最小值31PB21PB21PB212向内构造类型1、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，C的半径为4，点D是C上的动点，连接AD，BD，则的最小值2、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则的最小值是，3、如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=600,⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值是4、如图，AB为O的直径，AB＝2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P是O上的一动点，则2PDPC的最小值为25、在ABC中，AB=9，BC8，ABC60A的半径为6，P是A上的动点，连接PB、PC，则3PC2PB的最小值为PCPD21PCPD21BDAD2136、如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则2PA+PB的最小值为7、如图，在Rt⊿ABC中，A30，AC8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由;（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD2，试说明⊿FCD∽⊿ACF;1（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EFFA的最小值．2向外构造型1、如图,点A，B在圆0上，OA⊥0B,OA=OB=12,点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10,点P是圆O上一动点，则PC+½PD的最小值为3、如图，在扇形CAB中，CA=4,∠CAB=1200,D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C,B重合），则2PD+PB的最小值为（）A.324B.74C.16D.4344.如图，圆O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交O于点D，DE为圆O的直径，点P为圆O上动点，则2PC+PE的最小值是4综合题如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC:交y轴于C,点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；(2)连接GB,EO.当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,FH,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形？求出此时的点E,H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求它的最小值。621yxCMAM21