大学物理 CH3.2-5 刚体力学

第二节第二节第二节第二节刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律要改变刚体的转动状态要改变刚体的转动状态要改变刚体的转动状态要改变刚体的转动状态，，，，不仅要有力不仅要有力不仅要有力不仅要有力，，，，而且状态改变而且状态改变而且状态改变而且状态改变的效果与力的大小的效果与力的大小的效果与力的大小的效果与力的大小、、、、方向和作用点都有关方向和作用点都有关方向和作用点都有关方向和作用点都有关。。。。一一一一、、、、力矩力矩力矩力矩(momentofforce):M

MrF=×


方向方向方向方向：：：：右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则大小大小大小大小：：：：sin(Nm)MFrϕ=iFd=PφF
rO注意注意注意注意：：：：力矩是相对某条固定转轴而言的力矩是相对某条固定转轴而言的力矩是相对某条固定转轴而言的力矩是相对某条固定转轴而言的！！！！dQ（（（（d：：：：力臂力臂力臂力臂））））rrFz注意注意注意注意：：：：3.一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。。。。1.如果外力的方向不在转动平面内如果外力的方向不在转动平面内如果外力的方向不在转动平面内如果外力的方向不在转动平面内，，，，则力可以沿平则力可以沿平则力可以沿平则力可以沿平行于转轴的方向和垂直于转轴的方向分解行于转轴的方向和垂直于转轴的方向分解行于转轴的方向和垂直于转轴的方向分解行于转轴的方向和垂直于转轴的方向分解。。。。2.几个力同时作用在刚体上几个力同时作用在刚体上几个力同时作用在刚体上几个力同时作用在刚体上，，，，它们的合力矩就是它们的合力矩就是它们的合力矩就是它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或者代数和各力的力矩的矢量和或者代数和各力的力矩的矢量和或者代数和各力的力矩的矢量和或者代数和。。。。⊥×=FrMϕd⊥F//FdFrFM⊥⊥==ϕsin把刚体看作一个质点系把刚体看作一个质点系把刚体看作一个质点系把刚体看作一个质点系，，，，对其上对其上对其上对其上P处处处处的第的第的第的第i个质点个质点个质点个质点ΔΔΔΔmi，，，，分析其受力分析其受力分析其受力分析其受力：：：：iiiiFfma+=Δ其切线分量为其切线分量为其切线分量为其切线分量为:sinsiniiiiiiFfmrϕθβ+=Δ两边同时乘以两边同时乘以两边同时乘以两边同时乘以ri：：：：2sinsiniiiiiiiirFrfmrϕθβ+=ΔPoirifiFθiϕiFisinϕifisinθi二二二二、、、、转动定律转动定律转动定律转动定律2sinsiniiiiiiiirFrfmrϕθβ+=Δ质点质点质点质点ΔΔΔΔmi的的的的外力矩外力矩外力矩外力矩质点质点质点质点ΔΔΔΔmi的的的的内力矩内力矩内力矩内力矩对所有质点求和对所有质点求和对所有质点求和对所有质点求和，，，，可以得到可以得到可以得到可以得到：：：：2111sinsiniiiiiiiiiiirFrfmrϕθβ===+=Δ∑∑∑合内力矩合内力矩合内力矩合内力矩∑∑∑∑rifisinθθθθi为零为零为零为零，，，，则则则则：：：：211siniiiiiiirFmrϕβ===Δ∑∑刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律：：：：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对该转轴的合力矩积等于外力对该转轴的合力矩积等于外力对该转轴的合力矩积等于外力对该转轴的合力矩。。。。MJβ=211siniiiiiiirFmrϕβ===Δ∑∑刚体刚体刚体刚体的的的的合外力矩合外力矩合外力矩合外力矩∑∑∑∑ΔΔΔΔmiri2=J，，，，J为转动惯量为转动惯量为转动惯量为转动惯量MJFmaβ==与关系密切！2iirmJΔ∑=三三三三、、、、转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量(momentofinertia)：：：：转轴位置不同转动惯量不同转轴位置不同转动惯量不同转轴位置不同转动惯量不同转轴位置不同转动惯量不同2121mLJ=231mLJ=22mRJ=21mRJ=转动惯量与刚体对给定转轴转动惯量与刚体对给定转轴转动惯量与刚体对给定转轴转动惯量与刚体对给定转轴的质量分布有关的质量分布有关的质量分布有关的质量分布有关。。。。1R2L1L2R（（（（kg·m2））））通常刚体均为连续体通常刚体均为连续体通常刚体均为连续体通常刚体均为连续体：：：：22diimJmrrm=∑Δ=∫∫∫∫===lmVlrSrVrddd222λσρ质量体分布质量体分布质量体分布质量体分布，，，，例如立方体例如立方体例如立方体例如立方体、、、、球体球体球体球体质量面分布质量面分布质量面分布质量面分布，，，，例如薄片例如薄片例如薄片例如薄片、、、、薄球壳薄球壳薄球壳薄球壳质量线分布质量线分布质量线分布质量线分布，，，，例如细棒例如细棒例如细棒例如细棒、、、、细环细环细环细环例例例例例例例例22计算质量为计算质量为计算质量为计算质量为m，，，，长为长为长为长为L的匀质细棒绕通过其的匀质细棒绕通过其的匀质细棒绕通过其的匀质细棒绕通过其端点的垂直轴的转动惯量端点的垂直轴的转动惯量端点的垂直轴的转动惯量端点的垂直轴的转动惯量。。。。oz20dLmJllL=⋅∫2dJrm=∫解解解解：：：：dldml213mL=lLmlmddd==λ例例例例例例例例33一质量为一质量为一质量为一质量为m，，，，半径为半径为半径为半径为R的均匀薄圆盘的均匀薄圆盘的均匀薄圆盘的均匀薄圆盘，，，，求通过盘求通过盘求通过盘求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量中心并与盘面垂直的轴的转动惯量中心并与盘面垂直的轴的转动惯量中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。。。。ddmSσ=230d2dRmJrmrrπσ==∫∫解解解解:rdrmdRo44222RRmRπσππ==212mR=2drrσπ=注意注意注意注意：：：：转动惯量具有可相加性转动惯量具有可相加性转动惯量具有可相加性转动惯量具有可相加性。。。。例例例例4转动定律应用转动定律应用转动定律应用转动定律应用：：：：质量质量质量质量M=16kg、、、、半径半径半径半径R=0.15m的实心滑轮的实心滑轮的实心滑轮的实心滑轮,一根轻质细绳绕在其上一根轻质细绳绕在其上一根轻质细绳绕在其上一根轻质细绳绕在其上，，，，绳端挂一质量为绳端挂一质量为绳端挂一质量为绳端挂一质量为m的物体的物体的物体的物体。。。。已知滑轮和绳之间没有相对滑动已知滑轮和绳之间没有相对滑动已知滑轮和绳之间没有相对滑动已知滑轮和绳之间没有相对滑动，，，，且滑轮与轴且滑轮与轴且滑轮与轴且滑轮与轴承之间的摩擦力忽略不计承之间的摩擦力忽略不计承之间的摩擦力忽略不计承之间的摩擦力忽略不计。。。。求求求求（（（（1））））由静止开始由静止开始由静止开始由静止开始1秒钟秒钟秒钟秒钟后后后后，，，，物体下降的距离物体下降的距离物体下降的距离物体下降的距离。（。（。（。（2））））绳子的张力绳子的张力绳子的张力绳子的张力。。。。maTmg=−βRa=解解解解:MmR'TmgT212TRJMRββ==以竖直向下方向为物体运动的正方向以竖直向下方向为物体运动的正方向以竖直向下方向为物体运动的正方向以竖直向下方向为物体运动的正方向；；；；以垂直于滑轮向外为滑轮转动的正方向以垂直于滑轮向外为滑轮转动的正方向以垂直于滑轮向外为滑轮转动的正方向以垂直于滑轮向外为滑轮转动的正方向2211512.5m22hat==××=mmR'TmgT2sm5−⋅=aN40=T第三节第三节第三节第三节定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理一一一一、、、、力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功FϕrαdθdrdddcosdcossinddAFrFrFrFrMαθαϕθθ=⋅====21dAMθθθ=∫功率为功率为功率为功率为：：：：ddddAPMMttθω===刚体转动过程中任一质元刚体转动过程中任一质元刚体转动过程中任一质元刚体转动过程中任一质元ΔΔΔΔmi动能动能动能动能：：：：：：：：212iimvΔ因此因此因此因此，，，，刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能：：：：ivir二二二二、、、、转动动能转动动能转动动能转动动能()22221122kiiiiEmrmrωω=Δ=Δ∑∑212kEJω=2212iimrω=ΔddddddAMJJtωθθωω===21222111dd22AAJJJωωωωωω=∫==−∫合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。。。。关于保守力关于保守力关于保守力关于保守力、、、、势能势能势能势能、、、、机械能等的概念机械能等的概念机械能等的概念机械能等的概念，，，，同样适用于刚体同样适用于刚体同样适用于刚体同样适用于刚体。。。。三三三三、、、、刚体做定轴转动时的动能定理刚体做定轴转动时的动能定理刚体做定轴转动时的动能定理刚体做定轴转动时的动能定理22211122kAJJEωω=−=ΔCoBA22211122()33333319mmlJlml=+=（（（（1））））水平位置水平位置水平位置水平位置例例例例例例例例55一质量为一质量为一质量为一质量为m、、、、长为长为长为长为l的均质细杆的均质细杆的均质细杆的均质细杆，，，，转轴光滑转轴光滑转轴光滑转轴光滑，，，，在在在在距距距距A端端端端l/3的的的的O点处点处点处点处。。。。杆从静止开始由水平位置绕杆从静止开始由水平位置绕杆从静止开始由水平位置绕杆从静止开始由水平位置绕O点转点转点转点转动动动动。。。。求求求求：（：（：（：（1））））水平位置的角速度和角加速度水平位置的角速度和角加速度水平位置的角速度和角加速度水平位置的角速度和角加速度。。。。（（（（2））））竖直位置的角速度和角加速度竖直位置的角速度和角加速度竖直位置的角速度和角加速度竖直位置的角速度和角加速度。。。。解解解解：：：：16MJlmgβ==32MgJlβ⇒==mg0=ω（（（（2222））））竖直位置竖直位置竖直位置竖直位置3glω⇒=CoBAmg21026lJmgω−=00=⇒==ββJM以水平位置为重力势能零点以水平位置为重力势能零点以水平位置为重力势能零点以水平位置为重力势能零点转动过程中机械能守恒转动过程中机械能守恒转动过程中机械能守恒转动过程中机械能守恒CoBAθθθθ（（（（3333））））任意位置任意位置任意位置任意位置21sin026lJmgωθ−=可以求出任意位置的角速度和角加速度可以求出任意位置的角速度和角加速度可以求出任意位置的角速度和角加速度可以求出任意位置的角速度和角加速度。。。。mgcos6lMJmgβθ==第四节第四节第四节第四节角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律一一一一、、、、刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量2iiiiiiLrmvmrω=Δ=ΔivrimΔL对刚体中质元对刚体中质元对刚体中质元对刚体中质元ΔΔΔΔmi的的的的角动量大小角动量大小角动量大小角动量大小：：：：整个刚体的角动量大小整个刚体的角动量大小整个刚体的角动量大小整个刚体的角动量大小：：：：LJω=2iiLmrJωω=∑Δ=注意注意注意注意：：：：角动量是相对某条固定转轴而言的角动量是相对某条固定转轴而言的角动量是相对某条固定转轴而言的角动量是相对某条固定转轴而言的！！！！方向方向方向方向：：：：右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则二二二二、、、、冲量矩冲量矩冲量矩冲量矩、、、、角动量