用二分法求方程的近似解

3.1.2用二分法求方程的近似解试求解下列方程：1．x2－2x＋1＝0；2．x2－2x－1＝0；3．x3＋3x－1＝0；4．lnx＋2x－6＝0；提出问题x＝121x？引入课题一元二次方程可以用公式求根，有没有现成的公式用来求方程x3＋3x－1＝0和方程的根呢？)0(02acbxax062lnxx回想一下函数的零点与相应的方程根的关系，试想能否利用函数的有关知识来求它们的根的近似解（比如：精确到0.01）呢？没有方程有实数根0)(xf函数的图象与x轴有交点)(xfy函数有零点)(xfy求方程的实数根，就是确定函数的零点，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标．)(xfy0)(xf)(xfy温故知新如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根．)(xfy],[ba0)()(bfaf)(xfyba,bac,0)(xf0)(xf温故知新判断函数的零点：引入课题上节课已经知道，函数在区间（2，3）内有零点．现在问题的关键是如何找出这个零点？62ln)(xxxf如果给你三次机会将零点所在的范围尽量缩小，那么你会采取什么方法？“取中点”第一次：取区间（2，3）的中点，算得：f（2.5）≈－0.084因为f（2.5）·f（3）0,所以零点在区间（2.5，3）内．第二次：取区间（2.5，3）的中点，算得：f（2.75）≈0.512因为f（2.5）·f（2.75）0,所以零点在区间（2.5，2.75）内．第三次：取区间（2.5，2.75）的中点，算得：f（2.625）≈0.215因为f（2.625）·f（2.5）0,所以零点在区间（2.5，2.625）内．探索零点2.52.752.625探索零点如果重复上述步骤，那么零点所在范围会继续越来越小吗？由于，零点范围确实缩小了．75.2,5.23,5.23,2这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间上的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为零点地近似值．探索零点0.5122.750.5(2.5,3)0.2152.6250.25(2.5,2.75)0.0662.56250.125(2.5,2.625)-0.0092.531250.0625(2.5,2.5625)0.0292.5468750.03125(2.53125,2.5625)0.0102.53906250.015625(2.53125,2.546875)0.0012.535156250.0078125(2.53125,2.5390625)-0.0842.51(2,3)中点函数近似值区间中点值区间长度区间探索零点当精确度为0.01时，由于：|2.5390625-2.53125|＝0.00781250.01，62ln)(xxxf062lnxx所以，我们可以将x＝2.54作为函数的零点的近似值，也即方程根的近似值．探索零点对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．二分法概念函数零点的性质是二分法求函数变号零点近似值的重要依据．必须是满足区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)0这两个条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；3.计算；)(1xf2.求区间(a,b)的中点；1x（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；（2）若f(a)·f(x1)0，则令b=x1（此时零点x0∈(a,x1));（3）若f(x1)·f(b)0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1,,b));4．判断是否达到精确度ε，即若|a-b|ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4．用二分法求函数零点+23-不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解.（精确到0.1）f(2)0，f(3)02x13-+22.53f(2)0，f(2.5)02x12.5-+22.252.53f(2.25)0，f(2.5)02.25x12.5-+22.3752.53f(2.375)0，f(2.5)02.375x12.5-+22.3752.4753f(2.375)0，f(2.4375)02.375x12.4375用二分法求方程近似解怎样理解是否达到精度要求了？设函数的零点为x0，则ax0b．作出数轴，在数轴上标出a、b、x0对应的点．所以0x0-ab-a,a-bx0-b0．ax0bx用二分法求方程近似解由于|a-b|ε，所以|x0-a|b-aε,x0-b|a-b|ε，即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．用二分法求函数零点在计算器或计算机中安装一个方程数值解法的程序，当我们输入相应的方程，并给出精确度（有效数字）后，计算器或计算机就会依据程序进行运算了．例借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）．二分法例题分析解原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表．x012345678f(x)-6-2310214075142273观察图表，可知：f(1)·f(2)0，说明这个函数在区间（1，2）内由零点．例借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）．解原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表．下面是求方程近似解的框图，根据框图，可选择一种计算机语言，写出程序，并在计算机上运行后得出结果．二分法例题分析开始定义f（x）输入ε，x1，x2Dε?否x2=x是x1=x，y1=y否，y=f（x），D＝|x－x2|221xxxy1＝f（x1）y=0?y1·y0?否是结束打印x是二分法例题分析用二分法解例题2123456789101112131415二分法在实际应用从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为个．本节课主要学习了以下内容：知识小结二分法概念用二分法求方程近似解步骤中教育星软件技术有限公司2006年3月制作用二分法求方程的近似解