对微分流形的初步认识

1对微分流形的初步认识微分流形，也称为光滑流形，是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。一．微分流形§1.n维欧式空间粗略的说，几何学的发展史就似乎空间概念的发展史.“空间”的重要性在于它是数学延伸发展的平台：随着一种新空间观念的出现与成熟，就近的数学就会在这个空间中展开和发展.微分流形的概念首先是由黎曼提出的，他把n个变量看作n维空间中动点的坐标.此时，坐标本身不再具有特殊的几何意义，人们关心的是那些能够用坐标表达、然而与坐标系选择无关的量.因此我们可以考虑这样的空间，它没有适用于整个空间的坐标系，而在没一点的邻域内存在局部使用的坐标系，但是我们仍然能够研究在空间中大范围定义的量，即与局部坐标系选择无关的量.微分流形概念的产生和精确化是当代数学的一大成就，微分流形是大范围分析和整体微分几何演出的舞台，同时微分流形的拓扑是重要的研究课题.n维欧式空间是n维微分流形最简单的例子和模型.微分流形的概念和构造是从欧式空间的概念和有关构造脱胎而出的.因此，了解n维欧式空间是十分必要的.定义1.1设V是n维向量空间.若在V上给定一个对称的，正定的双线性函数,：VV,既满足下列条件：⑴1221,,vvvv;⑵1212,,,vvvvvvv;⑶1212,,vvvv;⑷12,0vv且等号只在0v时成立.其中，12,,vvv,则称,,V为n维欧氏向量空间.满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记为1212,vvvv.定义1.2设是n维向量空间.A是一个非空集合，A中元素称为点.若存在一个映射:AAV，它把A中的任意一对有序点P、Q映成V中的一个向量PQV，且满足下列条件：⑴0,PQPA.⑵,PAvV，存在惟一的点QA，使得PQv.2⑶,,PQSA，成立恒等式PQQSPS.则称A是n维仿射空间，且称V是与仿射空间A伴随的向量空间.定义1.3设,,V是n维欧氏向量空间，则以V为伴随向量空间的仿射空间称为n维欧氏空间,记为nE.nE中任意两点P、Q间的距离定义为,dPQPQPQ.nnE；设nE为n维欧氏空间.若在nE中取定一个单位正交标架0;i之后，也就是在nE中建立一个直角坐标系侯，nE便等同于.今后为简便起见，常把n维欧氏空间记为.§2.微分流形的定义微分流形是现代数学的重要分支，它溶分析、拓扑、几何、代数等多种知识于一体，形成了近代物理学、力学、工程技术、近代社会科学的重要数学基础.近代科技的发展，越来越显示出微分流形的重要性.接下来就介绍一下流形的定义.定义2.1设M是一个Hausdorff拓扑空间.若M的每一点P都有一个开邻域UM，使得U和n维欧氏空间n中的一个开子集是同胚的，则称M是一个n维（拓扑）流形.定义2.2设同胚:nUU，其中U是n中的开集，则称,U为流形M的一个坐标卡.iixpp,称,iUx为流形M的一个局部坐标系.n维拓扑流形就是在它的每一点的一个邻域内可以建立n维局部坐标系的Hausdorff空间.定义2.3设M是一个n维拓扑流形，,U与,V是它的两个坐标卡，若UV，,都是rC的，则称,U与,rVC相关；UV时，对任意r相关.流形是一种局部相似于欧氏空间n的拓扑空间，如3中的球面、环面等，即二维流形的典型例子.流形的特点是它一般只能局部地同胚于欧氏空间的开子集，一般不一定能整体地同胚于欧氏空间.因此流形一般无全局坐标而只有局部坐标，这是它的一个重要特征.定义2.4设M是n维拓扑流形.假定(,):UIA是M坐标卡的一个集合，且满足⑴:UI构成流形M的一个开覆盖.⑵属于A的任意两个坐标卡都是rC相关的.⑶A是rC极大的：即若,U是M的一个坐标卡，且,U与中每个成员都是rC相关的，则,U必属于A.此时称坐标卡集A为流形M上的一个rC微分结构.r时，A称为M上的一个光滑结构；3r时，A称为M上的一个解析结构.定义2.5设M是个n维拓扑流形，若在M上指定一个rC微分结构A，则称(,)MA为一个n维rC微分流形.属于A的坐标卡,U为该微分流形的容许坐标卡.r时，称(,)MA为光滑流形；r时，称(,)MA为解析流形.微分流形的基本思想是要在流形上引入一种局部结构以保能在流形上进行微分运算，从而在流形上建立的分析学.B.Riemann大概是第一个使用“流形”一词的人.他在1854年提交的著名论文“论几何学的基本假设”中，有“流形”（Mannigfaltigkeit）的提法.无疑地，在他脑海中流形的概念是清楚的.他把一组变量看作某个广义空间中的点的坐标，他们允许作变换.因此坐标本身不再具有特殊的几何含义.§3光滑映射定义3.1设:fM是定义在光滑流形M上的连续函数.若在点xM,M的一个容许坐标卡,U，使得xU,且1:fU是在点x处光滑的函数，则称函数f在点x处是光滑的.若f在每一点xM都是光滑的，则称f为流形M上的光滑函数.我们把定义在点xM的邻域内且在点x处光滑的函数的集合记作xC.定义3.2设M，N分别是m,n维光滑流形，:fMN是连续映射.设xM，如果存在M在点x处的容许坐标卡,U及N在点fx处的容许坐标卡,V，使得11()mnfUfVV是在点x处的光滑映射，则称映射f在点x处是光滑的.若映射f在M上是处处光滑的，则称f是从M到N的光滑映射.定义3.3设M，N是两个n维光滑流形，:fMN是同胚，若:fMN和它的逆映射1:fNM都是光滑映射，则称f为光滑同胚.定义3.4设:fM是流形上的连续函数，所谓f的支撑集是指f取非零值的点的集合的闭包，记作Suppf,即Suppf=:0pMfp.定义3.5设0为M的子集的一个集合，M中每一点都有一个邻域，它仅与0中有限多个成员相交，则称子集族0是局部有限的.定义3.6设12,是M的两个开覆盖.若对于1中任意一个成员U，必能在2中找到一成员V，使得UV，则称1是开覆盖2的加细.4§4.单位分解定理单位分解定理是积分理论中的一个极其重要的工具.直观地说，单位分解定理往往起着粘合或拼接的作用，可以通过它把局部性拼接起来而得到整体性.下面引入一系列引理为单位分解定理做铺垫.引理4.1设M满足第二可数公理，故M的任意一个开覆盖必定含有一个可数的子覆盖.引理4.2设M是局部紧致的、满足第二可数公理的拓扑空间，则存在可数多个紧致子集{}nK，使得1nnKK，且它们构成M的覆盖，即1nnMK引理4.3设M是局部紧致的、满足第二可数公理的拓扑空间，则M的任何一个开覆盖:UI必定是一个可数的、局部有限的加细开覆盖.流形的实质就是在局部上可坐标化的拓扑空间，我们的研究对象是整个空间，而是着眼点却是局部坐标域.因此，在局部上所定义的对象扩展成全局定义的对象是十分重要的步骤.引理4.4设1Br，2Br是n中以原点为中心的两个同心球，且12rr，则有函数nFC，使得11BrF，20BrF.引理4.5设,UV是光滑流形M的两个开子集.U是紧致的，且UV，则存在光滑函数fCM，使得1Uf，0Vf.引理4.6设U是光滑流形M的一个开子集，fCU，则在任意一点pU，必有点p的一个邻域VU以及光滑函数fCM，使得VVff定理4.1（单位分解定理）：设M是满足第二可数公理的维光滑流形，:UI是M的任意一个开覆盖，则必有一个可数的局部有限的加细开覆盖0:1iVi，以及定义在M上的一族光滑函数:1ifCMi，使得01if，Suppif是包含在V内的紧致子集，并且11iif.光滑函数族:1ifCMi称为从属覆盖的单位分解.二．切向量与张量§1.切向量和切空间在欧氏空间n中，切向量就是指经过一点的光滑曲线在该点的切向量.实际上它可以是从一点引出的任意一个向量，或是从一点出发的任意一条有向线段.这种在直观上容易理5解的概念依赖于欧氏空间n本身所固有的线性结构没不能够直接搬到微分流形上来，所以我们需要给出切向量的另一种等价定义一一就是把欧氏空间中的切向量进一步描述成作用在光滑函数上的方向导数，它遵循对函数求导的法则，且切向量与沿该切向量的方向导数是一一对应的.这样，我们就能将切向量的概念代到微分流形上来.设:(,)nfab是欧氏空间n中一条光滑曲线.00(),(,)Pfttab，pgC则gf是定义在点0t的邻域内的光滑函数.根据复合求导法则，我们有000101()()()((),,())inniittttftdxtdgfdggxtxtdtdtxdt其中1(,,)ngxx是g在给定的直角坐标系;iO下对应的n元实函数.令001()(())niiiftggftx，则0(())gft是在点0()ft处的一个切向量，与单位正交标架;iO的选取无关.称0(())gft为光滑函数g在点0()ft处的梯度向量.00()(()),ttdgfgftvdt其中01()iniidxtvdt是f在0tt处的切向量.0(()),gftv称为pgCg在点0()Pft处沿向量v的方向导数，记作vDg.定义1.1设M是一个m维光滑流形，xM.所谓光滑流形M在点x的切向量v是指满足下列条件的一个映射:xvC：⑴线性性：,,xfgC，有()()vfvf，()()()vfgvfvg；⑵Leibniz法则：,xfgC，有()()()()()vfgfxvggxvf；切空间是微分流形上十分重要的构造.它是微分结构的产物，在拓扑流形上不能定义切向量和切空间的概念.由于在微分流形的每一点都有切空间这样的线性结构，线性代数就成为研究微分流形的重要代数工具.定义1.2设M是m维光滑流形，0xM.用0xTM表示M在点0x的全体切向量的集合，则在0xTM中有自然的线性结构，使得0xTM成为m维向量空间.向量空间0xTM称为光滑流形M在点0x处的切空间.同时任意一个切向量v0xTM能用m个切向量ix，1im线性表示，即:1iimx是0xTM的一个基底，0dimxTMm.我们还称ix为切空间0xTM在局部坐标系;iUx下的自然基底.6在线性结构中我们知道若V是一线性空间，则V上所有的线性函数也构成一线性空间，通常记为，称为V的对偶空间.如果12:TVV是线性空间1V到2V的线性映射，则对于*2V，映射1:TV是1V上的线性函数，因此*1TV.这样我们得到了一个线性映射***21:TVV，T，称为线性映射12:TVV的对偶映射.而在光滑流形间的光滑映射，自然地诱导出在对应点的切空间之间的线性映射.定义1.3切空间0xTM的对偶空间称为光滑流形M在点0x的余切空间，记作0*xTM.余切空间0*xTM的元素称为光滑流形M在点0x处的余切向量.定义1.4设M，N是光滑流形，:MN是光滑映射.对于0xM，诱导出从0xC到0xC的映射*，定义为*gg，0xgC.对于任意切向量0xvTM，可定义映射00*:xxvC，使得对于0xgC，有0**xvgvgvg很明显，0*x是N在0x处的一个切向量.故我们将线性映射000*:xxxTMTN，0*xvv称为光滑映射在点0x所诱导的