第4章-多自由度系统振动(b)

多自由度系统振动第四章22020年6月18日《振动力学》2•作用力方程•刚度矩阵和质量矩阵•位移方程和柔度矩阵•质量矩阵和刚度矩阵的正定性质•耦合与坐标变换•多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》3小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII可统一表示为：)(tPXKXM例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为n维。多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程作用力方程2020年6月18日《振动力学》4小结：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力。质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。ijm、ijmijk又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。刚度矩阵和质量矩阵第j个坐标产生单位位移刚度矩阵第j列系统刚度矩阵j=1~n确定第j个坐标单位加速度质量矩阵第j列系统质量矩阵j=1~n确定2020年6月18日《振动力学》5例：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：3211lmJ2222222487)4(12lmlmlmJ提示：质量矩阵：2221487003lmlmM2020年6月18日《振动力学》6多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程解：使用影响系数法计算系统刚度阵211111339sin4416Mkllkl221111339sin4416Mkllkl（1）如图所示，令，，对杆1和杆2分别需要施加弯矩，分别为：110211M21M212111339sin4416Mkllkl222212123311914422164Mkllkllklkl（2）如图所示，令，，对杆1和杆2分别需要施加弯矩，分别为：102112M22M运动微分方程：04116916916916948700321211112212221kkkkkllmlm2020年6月18日《振动力学》7例：两自由度系统摆长l，无质量，微摆动求：运动微分方程xm1k12mk2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》8解：先求解刚度矩阵令：01x2121111)(kkkkk021k多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程x方向力平衡A点力矩平衡m1k10gm2k21x刚度矩阵第一列：021kk需要施加的力和矩11k21k11k21kAx静态平衡2020年6月18日《振动力学》9解：令：10x00)(2112kkkglmlgmk2222sin多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程x方向力平衡A点力矩平衡刚度矩阵第二列：需要施加的力和矩12k22km1k11gm2k20xA12k22kglm20x2020年6月18日《振动力学》10多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程xm1k12mk2刚度矩阵第一列：021kk刚度矩阵第二列：glm20系统刚度矩阵：glmkk22100K2020年6月18日《振动力学》11求解质量矩阵令：01x212111)(mmxmmm2122()mmxlml令：10xlmlmm2212222222lmlmImm1k11gm2k20x12m22mI2ml惯性力多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程瞬时动态m1k10gm2k21x11m21mxm2惯性力xm1惯性力2020年6月18日《振动力学》122111mmmlmm221lmm2122222lmm质量矩阵：222221lmlmlmmmMxm1k12mk2刚度矩阵：glmkk22100K运动微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》13•位移方程和柔度矩阵对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些。柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形。物理意义及量纲与刚度恰好相反。以一个例子说明位移方程的建立x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化）假设21PP、是常力以准静态方式作用在梁上。梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。21mm、21xx、取质量的静平衡位置为坐标的原点。多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》14111fxm1位移：212fxm2位移：0121PP、时（1）1021PP、时（2）121fxm1位移：222fxm2位移：21PP、同时作用（3）2121111PfPfxm1位移：2221212PfPfxm2位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》1521PP、同时作用时：2121111PfPfx2221212PfPfx矩阵形式：FPX21xxX22211211ffffF21PPP柔度矩阵物理意义：系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i个坐标上产生的位移ijf柔度影响系数f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》16FPX21PP、当是动载荷时集中质量上有惯性力存在2221112221121121)()(xmtPxmtPffffxx212121222112112100)()(xxmmtPtPffffxx)(XMPFX位移方程x1m1x2m2P1P211xm22xmm1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程212221121121PPffffxx2020年6月18日《振动力学》1711xm22xmm1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程也可按作用力方程建立方程：PKXXMXMPKX)(1XMPKX若K非奇异)(XMPFX位移方程：FPXXFM柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1KFIFK21xxX)()(21tPtPP刚度矩阵2020年6月18日《振动力学》18对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在。应当注意：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。1I2Ikm1m2k1k2m3原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移。刚度矩阵K奇异多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》19例：教材P72例4.1-2，求柔度阵。33332222100kkkkkkkkkK（1）在坐标x1上对质量m1作用单位力:系统在坐标x1、x2、x3上产生位移为:13121111kfffm1m2k1k2m3k3x1x2x3解：（2）在坐标x2上对质量m2作用单位力:212211kkf1121kf213211kkf（3）在坐标x3上对质量m3作用单位力：1131kf212311kkf32133111kkkf多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》201111kf1211kf1311kf212211kkf1121kf213211kkf1131kf212311kkf32133111kkkf3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF柔度矩阵：可以验证，有：IFKm1m2k1k2m3k3x1x2x333332222100kkkkkkkkkK多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》21例：求柔度阵。多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程解：2020年6月18日《振动力学》22多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》23小结：位移方程和柔度矩阵多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程)(XMPFX位移方程物理意义：系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i个坐标上产生的位移.ijf柔度影响系数柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1KFIFK位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。PKXXMXMPKX)(1XMPKX若K非奇异作用力方程2020年6月18日《振动力学》24•质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A正定并且等号仅在0y时才成立。0AyyT是指对于任意的n维列向量y，总有成立。如果0y时，等号也成立，那么称矩阵A是半正定的。根据分析力学的结论，对于定常约束系统：动能：XMXTT21KXXTV21势能：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》25•质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A正定并且等号仅在0y时才成立0AyyT是指对于任意的n维列向量y，总有成立如果0y时，等号也成立，那么称矩阵A是半正定的。动能：XMXTT210T)~1(0nixi除非所以，M正定多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》26•质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A正定并且等号仅在0y时才成立0AyyT是指对于任意的n维列向量y，总有成立如果0y时，等号也成立，那么称矩阵A是半正定的。KXXTV21势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。V0当各个位移)~1(nixi不全为零时，K正定对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。对于不全为零的位移存在V＝0)~1(nixiK半正定多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》27振动问题中主要讨论K阵正定的系统及K阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统。多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2020年6月18日《振动力学》28•耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合