全等三角形常考题型及详细解答-很全面的保你满意

唯思达教育初二数学精讲班教师版第1页共9页一、补充条件型试题[例1]（1）（06湖北宜昌课改）如图，AB=CD,AD、BC相交于点O，要使△ABO≌△DCO。应添加的条件为__________（添加一个条件即可）∠A=∠B,∠A=∠C，∠B=∠C，∠B=∠D，AB∥CD(2)(05重庆中考题)如图，已知∠ACB=∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是__________。（只需填写一个你认为合适的条件即可）BD=CA,∠ABD=∠ACD,∠ABC=∠DCB,∠A=∠D，S△ABO=S△CDO(3)(06深圳中考题)如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需要增加的一个条件是__________AB=CD,或∠BCA=∠CBD(4)（04四川中考）如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍然无法判断△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC补充两个三角形中任意一组对应边相等即可，选B二、组合条件型试题[例2]（05杭州中考）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个座位题设，余下的一个作为结论，下一个真命题，加以证明：①AB=DE②AC=DF③∠ABC=∠DEF④BE=CFABOCDADBCOADBCADBECFBADEC唯思达教育初二数学精讲班教师版第2页共9页解析：若所选条件中含有③∠ABC=∠DEF，则另外两个条件可选择①AB=DE④BE=CF，证明全等的理由是边角边定理。此时的真命题是：在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一直线上，若∠ABC=∠DEF,AB=DE,BE=CF,则AC=DF.若所选条件中不含有③∠ABC=∠DEF，则另外三个条件也可构成一个真命题，此时证明全等的理由是边边边定理。真命题是：在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一直线上，若AB=DE,BE=CF,AC=DF,则∠ABC=∠DEF。[例3]（06湖北中考）如图，给出下列三个式子：①EC=BD;②∠BDA=∠CEA;③AB=AC请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：如果……，那么……），并给出证明解析：当条件中含有②∠BDA=∠CEA，由于∠A共用，故无论选择①EC=BD还是③AB=AC其中的一个作为条件，剩下的作为结论，均能构成真命题。真命题如下：如果∠BDA=∠CEA，EC=BD，那么AB=AC如果∠BDA=∠CEA，AB=AC，那么EC=BD当条件中不含有②∠BDA=∠CEA时，只能以①EC=BD；③AB=AC作为条件，不能证明△ABD≌△ACE,故不能得出②∠BDA=∠CEA。此时没有真命题。三、探索型试题[例4](06北京课改)如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（2）如图（3），在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请ADCBE唯思达教育初二数学精讲班教师版第3页共9页说明理由。解析：（1）FE=FD.证明：在AC上取点M,使得AM=AE，连接FM。易证△AEF≌△AMF,△MCF≌△DCF,故EF=FM=FD.（2）在AC上取点M,使得AM=AE,连接FM。∵∠BAD=∠CAD,AF=AF,AE=AM∴△AEF≌△AMF∴EF=FM,∠AFE=∠AFM∵∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,∠B=60°∴∠AFC=120°，∠AFE=60°∴∠MFC=60°=∠DFC∵∠BCE=∠ACE,CF=CF∴△MFC≌△DFC∴DF=FM=EF[例5]（2007年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。OMNP(1)BCDAE(2)BDCAEF(3)AECBDOFBCDAE(2)MBDCAEF(3)唯思达教育初二数学精讲班教师版第4页共9页(1)请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称；(2)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于O，若∠A=60°,∠DCB=∠EBC=21∠A,请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；(3)在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且∠DCB=∠EBC=21∠A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。解析：（1）平行四边形，等腰梯形等等；（2）与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE),四边形DBCE是等对边四边形；（3）此时存在等对边四边形DBCE.如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点。∵∠DCB=∠EBC=21∠A,BC为公共边∴△BCG≌△CBF∴BF=CG∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A∠GEC=∠ABE+∠A∴∠BDF=∠GEC,∴△BDF≌△CEG∴BD=CE故四边形BCED为等对边四边形四、借助角平分线造全等[例6]（06郑州中考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE,BE的长。ACBEGDFACBEGDFAECBDOFG唯思达教育初二数学精讲班教师版第5页共9页解析：（1）连接BD、CD∵BG=CG,DG⊥BC∴BD=CD∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵DE⊥AB,DF⊥AC∴Rt△BED≌Rt△CFD∴BE=CF(2)由（1）可知，BE=CF.故AB=AE+BE=a,AC=AF-CF=AE-BE=b,故AE=2ba，BE=2ba[例7]如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BE平分∠B，CE⊥BD,求证：BD=2CE.解析：延长BA、CE交于点M∵BE⊥CE,∠CBE=∠MBE,BE为公共边∴△CBE≌△MBE∴ME=CE∵BE⊥CE,AB⊥AC∴∠MCA=∠MBE∵AB=AC∴△ABD≌△ACM∴BD=CM=2CE五、倍长中线（线段）造全等[例8]已知，如图△ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_______AED.000000000000000000000.00CBACBDAED.000000000000000000000.00CBMACBDE唯思达教育初二数学精讲班教师版第6页共9页解析：延长AD至E,使得AD=DE,连接CE.∵AD=DE,BD=CD,∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD,∴AB=CE三角形三边关系定理可知，AB-BC=5-3=22ADAB+BC=3+5=8,即1AD4[例9]如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，试比较BE+CF与EF的大小。解析：延长FD至M,使得DM=DF,连接BM、EM易证△DCF≌△DBM,故DM=DF,BM=CF。又DE⊥DF,故ME=EF,在△BEM中，BE+BMEM,即BE+CFEF.[例10]如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.解析：延长AE至M，使AE=EM,连接DM∵DE=EC,AE=EM,∠AEC=∠MED∴△AEC≌△MED∴DM=AC=BD,∠ACD=∠MDC∵∠ADB=∠DAC+∠ACD,∠ADM=∠ADC+∠MDCAC=CD→∠DAC=∠ADCAD共用∴△ABD≌△AMD∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE[例11]如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC.M是BC的中点，ME∥AD交AB于F，交CA延长线于E,ABAC,求证：BF=CEAFCBEDACEDBEACDMBAFCBEDMACEDBMEACDMBH唯思达教育初二数学精讲班教师版第7页共9页解析：延长EM至H,连接BH,易证△BHM≌△CEM,故BH=CE∵ME∥AD∴∠BAD=∠BFH,∠CAD=∠CEM=∠BHF∵∠BAD=∠CAD∴∠BFH=∠BHF∴BF=BH=CE[例12]（天津数学竞赛）已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F，求证：AF=EF.解析：延长AD至M,使得AD=DM,连接BM.∵∠BDM=∠CDA,AD=DM,BD=DC∴△BDM≌△CDA∴BM=AC,∠BMD=∠CAD∵BE=AC∴BE=BM,∠BEM=∠BMD∴∠AEF=∠EAF∴AF=EF1、（中考题）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD【解析】由OP是∠AOC和∠BOD的平分线可知，∠AOB=∠COD,又OA=OC,OB=OD,AFDCBE附加题PABDCOAFDCBEH唯思达教育初二数学精讲班教师版第8页共9页故△AOB≌△COD,所以AB=CD..2、（中考题）已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE,AF=DC.求证：BC=EF.【解析】∵AB//ED∴∠BAC=∠EDF∵AF=DC∴AC=DF∵AB=DE∴△BAC≌△EDF∴BC=EF1、(长沙中考)如图，已知MD=ND,∠MBA=∠NDC,试补充一个条件___________，使得△AMD≌△CDN.【解析】∠AMB=∠CND,或∠MAB=∠NCD,或AC=BD,或AB=CD2、（06新疆）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：①AB=DE;②BC=EF;③AC=DF;④∠A=∠D⑤∠B=∠E;⑥∠C=∠F,以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A.①⑤②B.①②③C.④⑥①D.②③④【解析】D3、如图，P是△ABC的外角∠EAC的平分线AD上的点（不与A重合）。求证：PB+PCAB+ACDABBFEC课后练习MNACBDACBDEFAEPDCBAEPDCBF唯思达教育初二数学精讲班教师版第9页共9页【解析】在AE上取点F,使得AF=AC,连接PF.∵∠CAD=∠EAD,AC=AF,AP=AP∴△CAP≌△FAP∴PF=PC在△BPF中，BP+PFBF故PB+PCAB+AC1、如图，在△ABC中，ACAB,AD为BC边上的中线，求证：∠CAD∠BAD【解析】延长AD至E,使得AD=DE,连接CE,∵∠CDE=∠BDA,AD=DE,CD=BD∴△CDE≌△BDA∴CE=AB,∠BAD=CEA在△ACE中，ACAB=CE∴∠CAD∠CEA故∠CAD∠BADABDCABDCE