现代设计方法4-3三角形三节点平面单元

4.3平面问题的有限单元法三角形三节点平面单元结构离散化单元分析整体分析有限元分析的基本步骤：1结构离散化例：图示一悬臂梁，梁的厚度为t，设泊松比m=1/3，弹性模量为E，试用三节点三角形单元进行离散。l2m1mAP/2P/23P/2P/2412yiijjmmxⅠⅡ2单元分析单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。单元分析的步骤：节点位移单元内部各点位移单元应变单元应力节点力(1)(2)(3)(4)单元分析(1)单元位移模式有限元法中，通常采用位移法进行计算，即取节点的位移分量为基本未知量，单元中的位移、应变、应力等物理量，都和基本未知量相关联。节点i的位移分量可写成{di}=[uivi]T单元节点位移向量{d}e可写成{d}e=[didjdm]T=[uiviujvjumvm]T三角形三节点单元xymjiviuiujvjvmumuv2.1由节点位移求单元内部任一点位移六个位移分量需六个待定参数a1，a2，……，a6设单元内任一点位移分量是坐标(x,y)的线性函数：(4.22)写成矩阵的形式为：(4.23)yxyxvyxyxu654321),(),(aaaaaa123456(,)1000(,)(,)(,)0001uxyxyxymxyvxyxyaaadaaaa设节点i，j，m坐标分别是xi，yi；xj，yj；xm，ym。把三个节点的坐标及其水平位移代入式(4.22)中得：(a)解得：(b)其中，(2)由单元节点位移{d}e求位移参数{a}123123123iiijjjmmmuxyuxyuxyaaaaaaaaa11iiijjjmmmuxyuxyAuxya21111iijjmmuyuyAuya31111iijjmmxuxuAxuammjjiiyxyxyxA111123111iiijjjmmmuxyuxyuxyaaa对v同理可列出a4、a5、a6的方程：vi=a4+a5xi+a6yii,j,m解得：a4、a5、a6为了书写的简便与规格化，引入记号ai,bi,ci分别为行列式A中各行各个元素的代数余子式1111jjijmmjmmjijmmjimjmxyaxyxyxyybyyyxcxxxmmjjiiyxyxyxA111ijm1234561()21()21()21()21()21()2iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmauauaubububucucucuavavavbvbvbvcvcvcvaaaaaa解出a1~a6结果：{a}=[L]{d}e为三角形单元面积。11112211()2iijjmmjmmiijmjimjixyAxyxyxyxyxyxyxyxy00000000010002000000ijmijmijmijmijmijmaaabbbcccLaaabbbccc将a写成矩阵形式，有{a}=[L]{d}e由单元节点位移{d}e求单元内部任一点位移{d(x,y)}{d(x,y)}=[m(x,y)]{a}=[m(x,y)][L]{d}e00000000010001[(,)][]00000012000000ijmijmijmijmijmijmaaabbbcccxymxyLaaaxybbbccc(,)0(,)0(,)00(,)0(,)0(,)ijmijmNxyNxyNxyNxyNxyNxy[(,)]Nxy)(21),(ycxbayxNiiiiijmNi,Nj,Nm是坐标的连续函数，反映单元内位移的分布状态，称为位移的形状函数，简称形函数(shapefunction)。矩阵[N]称为形函数矩阵(shapefunctionmatrix)。形函数物理意义：Ni(x,y)，节点i单位位移，其它节点位移分量为0，单元内部产生位移分布形状mmjjiimmjjiivyxNvyxNvyxNyxvuyxNuyxNuyxNyxu),(),(),(),(),(),(),(),((,)(,)(,)(,)euxyxyNxyvxydd在单元任一点上，三个形函数之和等于1。形函数Ni在i点的函数值为1，在j点及m点的函数值为零。三角形单元i,j,m在ij边上的形函数与第三个顶点的坐标无关。形函数的性质：例：求图示单元Ⅰ和单元Ⅱ的形函数矩阵3P/2P/2412yiijjmmⅠⅡx（a）(b)(0,a)(0,0)(b,0)yijmⅠxab(b,a)(0,a)yijmⅡx(b,0)分别如上图所示：)(21),(ycxbayxNiiiiijmabyxyxyxyxyxyxjmmjmiimijji21)(21①单元Ⅰ如图所示。设a=1m,b=2m.(或直接由图形可知其面积)②求系数ai,aj,am,bi,bj,bm,ci,cj,cm0000ijmmjjmiimmijjiijmjmjmijimjjimmjiaxyxyaxyxyaxyxyabbyyabyybyyacxxcxxbcxxb(0,a)(0,0)(b,0)yijmⅠxab)(21),(ycxbayxNiiiiijmbxycxbayxNiiii)(21),(ayycxbayxNjjjj)(21),(aybxycxbayxNmmmm1)(21),(③求形函数矩阵代入相关常数：00000000100001ijmijmNNNNNNNxyxybabaxxyaaybbyxyxyxyxN210020021002][将a=1,b=2代入得：bxxcbxxcxxcayybyybayybabyxyxaabyxyxaabyxyxaijmmijjmijimimjmjiijjimmiimjjmmii00(b,a)(0,a)yijmⅡx(b,0)④求常数单元Ⅱ如图所示Δ=ab/2bxycxbayxNiiii1)(21),(ayycxbayxNjjjj1)(21),(aybxycxbayxNmmmm1)(21),(⑤求形函数矩阵)1(010100)1(0101][aybxaybxaybxaybxNyxyxyxyxN2101021002101021][将a=1,b=2m代入上式得：作业：已知三角形三节点单元坐标如图示，设单元中一点A的坐标(0.5,0.2)，已知三角形三节点单元i节点位移(2.0,1.0)，j节点位移(2.1,1.1)，m节点位移(2.15,1.05)，1)写出单元的位移函数；2)求A点的位移分量。i(1,0)j(1,1)m(0,0)xy·A2.2由节点位移求单元的应变mmjjiimmjjiivyxNvyxNvyxNyxvuyxNuyxNuyxNyxu),(),(),(),(),(),(),(),(xvyuyvxuxyyxmmjjiimmjjiimmjjiimmjjiivxyxNvxyxNvxyxNuyyxNuyyxNuyyxNvyyxNvyyxNvyyxNuxyxNuxyxNuxyxN),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(几何方程)(21),(ycxbayxNiiiiijmiiiicyNbxN21,21ijm00010002iixijmjyijmjxyiijjmmmmuvbbbucccvcbcbcbuv(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)jimijmxjimyijmxyjimijmjimijmNxyNxyNxyuuuxxxNxyNxyNxyvvvyyyNxyNxyNxyuuuyyyNxyNxyNxyvvvxxx简记为{}=[B]{d}e[B]可写成分块的形式：[B]=[BiBjBm][B]称为应变矩阵，它的元素都只与单元的几何性质有关的常量。这种单元称为平面问题的常应变三角形单元。单元应变与单元节点位移关系iiiiibccbB0021][(i,j,m)物理方程{s}=[D]{}而{}=[B]{d}e{s}=[D][B]{d}e=[S]{d}e(求应力的表达式)记[S]=[D][B][S]应力矩阵:[S]=[SiSjSm]2.3由单元节点位移求单元的应力iiiiiiibccbcbES2121Δ)1(2][2mmmmm1)平面应力问题：代入[D]及[B]得:[S]=[SiSjSm].对于平面应力：(i,j,m)将上式中以E/(1-m2)代E，以m/(1-m)代m则子矩阵：(i,j,m)2)对于平面应变问题：iiiiiiibccbbbES)1(221)1(22111)21)(1(2)1(][mmmmmmmmmmm考虑单元平衡，节点力是作用在单元上的外力，与单元应力平衡。有限元法中以虚功方程代替平衡方程。节点力列阵及单元内应力列阵：单元节点力是指单元和节点相连接的内力；考虑节点平衡，节点力为外力，与节点外载荷平衡；mijVmUmViUiVjUjsysxtxymmjjiieVUVUVUF}{xyyxtsss}{2.4由节点位移求单元节点力(求单元刚度矩阵)节点虚位移列阵及虚应变：mij***xyyxt*mu*iu*ju*mv*iv*jv*******}{mmjjiievuvuvud****}{xyyx令实际受力状态在虚位移状态上做虚功，虚功方程：由{}=[B]{d}e知{*}=[B]{d*}e则{*}T=({d*}e)T[B]T由于{d*}e中的元素为常量，提至前积分号前，故：(对于三角形三节点单元，[B]和{s}为常量，单元厚度t也是常量；Ayxdd为三角形单元面积，用Δ表示）yxtFATeTedd}{}{)}({**sdyxtBFATTeeTedd}{][)}({}{)}({**sddyxtBFATedd}{][}{smmmjmijmjjjiimijiiekkkkkkkkkk][单元刚度矩阵tBFTe}{][}{s{}[][]{}eTFBDt←物理方程{s}=[D]