基础拓扑学笔记1

基础拓扑学平时10%期中30%期末60%等价关系常用~表示，当X上有等价关系时，称等价元素组成的子集为等价类，/~X是等价类的集合，称为X关于~的商集，xX所在的等价类记作x，则/~|XxxXE表示欧几里得空间本文中表示包含（可相等）第一章拓扑空间与连续映射1、拓扑空间严格定义连续已知例：:f在0x处连续的描述：序列语言：nx收敛到0x，则nfx收敛到0fx语言：0，0，使0xx时，0fxfx换种说法，自变量在小邻域内，因变量也在小邻域内1.1拓扑空间的定义拓扑（开集组成的集合）定义1.1：非空集X，X的子集族T称为X上的拓扑，若1、,XT2、VTVT（可无限，且不一定可数）（需要在证明时注意）3、（1niiiwTwT）（12,wwT12wwT）（用归纳法证明）称T中的元素为开集，称,XT为拓扑空间讨论：可以定义01iiw为全集（|,ABxxAxByAByAyB01iizw不存在，所以定义全集合理）在这样的定义下，条件1可以省去，其可由2、3导出对X，,tX是拓扑，称为平凡拓扑例：X，2Xs（X的所有子集），称为离散拓扑例：实数，,T开区间不是拓扑（区间要连着，空集不是区间，考虑,,abcd对,ab相对与,cd分类讨论）例1：X无穷集合，|有限fAXA称为X上的余有限拓扑（称有与之一一对应的真子集的集合为无限集）条件1成立，条件2：只要证明XVXV或有限或是X，而,XV有限时则有限，,XVX时则为X例2：X不可数无穷集合，|是的可数子集ccAAX称为余可数拓扑例3：R，|是若干个开区间的并集eUU称为欧氏拓扑1.2度量拓扑度量（或称距离）集合X上度量：:dXX满足1、,0dxy，,0dxyxy2、,,dxydyx3、,,,dxzdxydyz,yzX集合X上规定度量后成为度量空间例：2平面欧氏度量2211112222,xyxyxyxy是度量例：2平面度量11112222,max,xyxyxyxy例：11220,|0dxBxxx11122ppppdxyxy，1p例：1,0xydxyxy称为离散度量，这时1,1xBxX度量可以导出拓扑,dTBx（即能写成球形邻域的并）例：,,dxyxy=|,Twwab开区间并例：222,dd开球并例：上平面2122|0dxxTx证明：考虑1,,1xyxBy，证明两者相等（或考虑,,xyxByy）V开若xV则有x，,xBxV,VBx证略2X离散度量开球(单点或全集)并引理：,Xd的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集证：设1122,,UBxBx，记1122min,,,xdxxdxx，于是,xxUUBx命题1.1：dT开球并是拓扑，称为X上由度量d决定的度量拓扑证明：1）、是0个开球并，,1xXXBx2）、略3）、两个开球并之交可以写成开球交（对交域的元素半径取较小值）作业：P202，3，51.3拓扑空间中的几个基本概念1、闭集定义1.2：闭集：补集是开集命题1.2：1）,X既是开集也是闭集2）任意多闭集的交集是闭集3）有限个闭集的并集是壁集例：，通常拓扑开区间之并[0,)不是开集：若[0,),Jab0,Jab,0,kkkJab2、邻域、内点和内部定义1.3：邻域：若开集U使得xUA，则称A是x的邻域W是x的邻域，WUU是x的邻域内点：x是集合A的内点，若开集U使得xUA内部：所有内点组成的集合，记A命题1.3：A是含于A的最大开集证明：1、aAaA2、证A：xA，有开集xU满足xxUAxxUAxxAxAAxU3、最大：若W是A中开集，WA命题1.3：1）、ABAB2）、,WAWAW开3）、AAA开4）、ABAB证明：ABAABA同理ABBABAB另有ABABAB5）、ABAB3、聚点和闭包定义1.4：若x的每个邻域都含有\Ax的点，称x为A的聚点，A的聚点组成的集合称为A的导集A，A的闭包|,AAAxxWWA邻域命题1.4：若拓扑空间X的子集A与B互为余集，则A与B互为余集命题：A是闭集证明：yA存在邻域yUA，即yUXAXAXA推论：AXXA，BXXB命题1.5：?？？？例：,平凡拓扑，这时1，例：,离散拓扑若xAxA例：,c，A有理数，则XA是开集，这时AXXAXXAA若x是有理数，则x的邻域W不可数W含无理数WXAXA稠密：集A在,X中稠密是指AX，即任意一点x的邻域W，WA可分：,X可分是指有可数集A使得AX例：,,Xxyz,,,,,,,Xxxzxy则y例：,fR是可分的，,cR不是可分的4、序列的收敛性序列的收敛：若0xX的任一邻域U，都N使得nN时nxU，则称nx收敛到0x（收敛不一定唯一）命题：naA，limnnababbA例：,,,,,,,,,XxyzXxxyxzlim,limnnnaxaxay例：,cc是余可数拓扑，其闭集或可数或全集在此拓扑下limnax无限多nax若无限多nax，则|nnQaax可数Q是开集，Q是x的邻域，在邻域外有na无穷多个点，与limnax矛盾在此拓扑下，若x是集合A的聚点A中有序列收敛到x的性质不再成立1.4子空间定义1.5：对拓扑空间,X，若AX，规定|AUAU，称,AA为,X的子空间（或称相对拓扑或相对开集）例：,通常拓扑，0,1A若WAU，其中U，则称W开于A若AW开于A，则称W闭于A命题1.6：设X是拓扑空间，CAX，则C是A的闭集C是A与X的一个闭集之交集命题1.7：设X是拓扑空间，BAX，则1）B是X的开（闭）集B是A的开（闭）集2）A是X的开（闭）集，B是A的开（闭）集B是X的开（闭）集作业：P206917并证明A是包含A的最小闭集2、连续映射与同胚映射2.1连续映射的定义定义1.6：映射:fXY（,XY是拓扑空间）在0x处连续：对0fx的任一邻域U，1|fUxXfxU一定是0x的邻域（邻域不一定是开集）例：:fRR在0x处连续的表示0fx的邻域U0，00,fxfxU0000,,fxxfxfxU作用1f有110000,,xxffxxfU（注意1AffA1AffA12BB1112fBfB）定义1.7：f是连续映射是指f在每一点连续定理1.1：f连续开集原像是开集（w开于Y，则1fw开于X）闭集原像是闭集证明：1）：略：0xX，U是0fx邻域，只要证1fU是0x邻域0fxWU（W开于Y）110xfWfU即110xfWfU2）：设F闭11XfFfYF是开集于是1fF闭：设W开，11fYWXfW是闭集，1fW开f在AX上连续是指：|:AfAX连续拓扑空间中，若:fXY在xX处连续，则当nxx时，必有nfxfx，但逆命题不成立2.2连续映射的性质例：常值映射：0fXyY中开集W1XyWfWyW总是开集例：设A是X的子空间，记:iAX是包含映射，则i是连续映射例：恒等映射一定连续例：:fXY，X上是离散拓扑，则f一定连续例：:fXY，Y上是平凡拓扑，则f一定连续命题1.9：,fg连续，则,fggf连续例：连续双射但逆映射不连续的例子：R到R的恒等映射，原像的R用离散拓扑，映到的R用平凡拓扑例（12题）：,inf,|fxdxAdxaaA1）证f连续先证x，fx有定义,|[0,)dxaaA由于有定理：实数子集有下界有下确界连续性：在0x点，000,fxyBy找0x的邻域0,Bx，使0,fUBy2）0xAfx设2XC是拓扑空间X的子集族，称C是X的一个覆盖，若CCXC，若C的每个成员都是开（闭）集，称C为开（闭）覆盖定理1.2：粘接定理:fXY，1niiXA，iA闭，|iAf连续，则f连续证明：只要证明Y的每个闭集的原像是闭集设B是Y的闭集，则11111inniAiifBfBAfB2.3同胚映射定义1.8：,XY同胚是指存在:fXY满足：1）f连续2）一一对应3）逆映射1f也连续在同胚映射下，开集映为开集，闭集映为闭集例：,,,abcd的线性映射例：0,1,0,同胚（lnx）例：,,22同胚例：[0,1),0,1不是同胚例：三角形和四边形作为平面的子空间同胚（只要分割三角形为两个三角形,AB，将四边形分为两个三角形,CD，令:fAC，:gBD）推论：多边形和三角形同胚例：三角形和圆盘同胚（只要证三角形同胚于扇形：对每条半径按比例映射即可（连续性是因为其可以解析表达））例：一条曲线和一条不断接近一个圆的曲线不是同胚的一条曲线和线1,sin|(0,1]xxx不是同胚的若:fXY是单的连续映射且:fXfX是同胚映射，则称:fXY是嵌入映射定义1.9：拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念，在同胚映射下保持不变的性质叫拓扑性质由开集及其派生的拓扑概念来刻画的性质都是拓扑性质3、乘积空间与拓扑基设B是X的子集族，规定新子集族:|是中若干成员的并集UXUBB称为由B所生成的子集族3.1乘积空间称11212122,,,jxxxjxxx为投射1122,,,XTXT是拓扑空间，考虑12XX的拓扑，使得1j和2j都连续且是满足此要求的最小拓扑11UT11112jUUX22UT12212jUXU若1122,UU，则111212121122UUUXXUjUjU12|iiUUUB容易验证12121122AABBABAB命题1.10：121122,|UUUTUTB是12XX的拓扑证明：1）略2）略3）1212UUUUPQ1122111222xxxxxUUxUU112212121122,,xxxxxxPQPQxxUUUU定义1.10：称B为12XX上的乘积拓扑，称